Zeitgleiche Kommutierungsbeziehungen in der kanonischen Quantisierung relativistischer Freifelder

Question

Zeitgleiche Kommutierungsbeziehungen in der kanonischen Quantisierung relativistischer Freifelder

Physik
Kommutator
Quantisierung
zweite Quantisierung
Quantenfeldtheorie
Hamiltonscher Formalismus

SRS

Warum wird bei der kanonischen Quantisierung relativistischer freier Felder eine zeitgleiche Kommutierungsrelation verwendet? In einer relativistischen Theorie sind Raum und Zeit gleichberechtigt zu behandeln.

Jäger

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Danu

Das würde ich nicht sagen, Hunter.

JoshPhysik

Wenn Sie "warum" sagen, fragen Sie, wie wir mit Vertauschungsbeziehungen gleicher Zeit davonkommen können? Warum Fragen schwierig zu interpretieren sind. Eine Antwort könnte zum Beispiel sein, anzumerken, dass wir in der Quantenmechanik dasselbe mit den Operatoren tun, die die grundlegenden Freiheitsgrade im Phasenraum darstellen, und wir tun genau dasselbe in der QFT; es ist. Wäre eine Antwort dieser Art befriedigend?

JoshPhysik

@RoopamSinha Poincare invariante Feldtheorien respektieren die spezielle Relativitätstheorie, nicht alle Feldtheorien. In diesen Theorien kommt es auf die Invarianz der Objekte an, die die Theorie unter Änderungen des Rahmens definieren. Die Idee, Raum und Zeit gleich zu behandeln, ist etwas vage; würden Sie sagen, dass die Tatsache, dass die

t t

$tt$ Komponente der Metrik hat ein anderes Vorzeichen als die räumlichen Komponenten Wird eine Verletzung von Zeit und Raum "gleichgestellt" behandelt? Zeit und Raum sind physikalisch nicht dasselbe, sie werden einfach als zwei Koordinaten einer Mannigfaltigkeit betrachtet.

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Zeitgleiche Kommutierungsbeziehungen in der kanonischen Quantisierung relativistischer Freifelder

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Wenn Sie "warum" sagen, fragen Sie, wie wir mit Vertauschungsbeziehungen gleicher Zeit davonkommen können? Warum Fragen schwierig zu interpretieren sind. Eine Antwort könnte zum Beispiel sein, anzumerken, dass wir in der Quantenmechanik dasselbe mit den Operatoren tun, die die grundlegenden Freiheitsgrade im Phasenraum darstellen, und wir tun genau dasselbe in der QFT; es ist. Wäre eine Antwort dieser Art befriedigend?
@RoopamSinha Poincare invariante Feldtheorien respektieren die spezielle Relativitätstheorie, nicht alle Feldtheorien. In diesen Theorien kommt es auf die Invarianz der Objekte an, die die Theorie unter Änderungen des Rahmens definieren. Die Idee, Raum und Zeit gleich zu behandeln, ist etwas vage; würden Sie sagen, dass die Tatsache, dass die $tt$ Komponente der Metrik hat ein anderes Vorzeichen als die räumlichen Komponenten Wird eine Verletzung von Zeit und Raum "gleichgestellt" behandelt? Zeit und Raum sind physikalisch nicht dasselbe, sie werden einfach als zwei Koordinaten einer Mannigfaltigkeit betrachtet.

Valter Moretti · Answer 1

Tatsächlich könnte man auch Vertauschungsbeziehungen zu anderen Zeiten diskutieren:

[ϕ (X), ϕ (j)] = ich E (X, j) ICH (1)

$[\phi(x),\phi(y)] = i E(x,y) I\quad (1)$ für freie Felder

E

$E$ ist der sogenannte kausale Propagator oder die fortgeschrittene minus verzögerte Fundamentallösung , die von der erfüllten Freifeldgleichung abhängt

ϕ

$\phi$ .

Der Punkt ist, dass, wenn man zur Betrachtung wechselwirkender Felder übergeht, zumindest formal zeitgleiche Kommutierungsbeziehungen bezüglich des freien Falls unverändert bleiben, während die Entsprechungen von (1) in eine praktisch unbekannte Form übergehen, da sie die volle Dynamik beinhalten .

Tatsächlich funktioniert sogar diese Idee nicht vollständig, da wechselwirkende Felder $\Phi$ werden durch eine Renormierungskonstante beeinflusst $Z^{1/2}$ :

Φ (T, \vec{X}) \to Z^{1 / 2} ϕ (T, \vec{X}) im schwachen Sinne als T \to \pm \infty

$\Phi (t,\vec x) \to Z^{1/2} \phi(t, \vec x)\quad \mbox{in weak sense as } t \to \pm \infty$ und wenn man sich naiv mit dem Renormierungsverfahren befasst, entsteht es

Z = 0

$Z=0$ . Kanonische Vertauschungsrelationen scheinen also für Körper unhaltbar zu sein

Φ (x), \partial_{t} Φ (y) = Π (y)

$\Phi(x), \partial_t \Phi(y) = \Pi(y)$ . All das klingt jedoch etwas akademisch, da das Renormierungsverfahren das Problem gewissermaßen löst.

Ich möchte betonen, dass die Tatsache, dass Vertauschungsrelationen zur gleichen Zeit genommen werden, nicht im Widerspruch zur relativistischen Invarianz steht: Kovarianz (dh die Verwendung von Tensoren und die Gleichsetzung von Raum und Zeit) ist nur eine Möglichkeit, relativistisch explizit zu machen Invarianz , aber keineswegs die einzige!

Der Hamilton-Formalismus ist nicht kovariant, obwohl er relativistisch invariant ist : Alle Gleichungen (einschließlich CCR) nehmen in jedem Trägheitsbezugssystem dieselbe Form an.

Danu · Answer 2

Sicherlich pendeln das Feld und der Impuls nicht, wenn sie zur gleichen Zeit untersucht werden, durch Erweiterung der Logik der Quantenmechanik. Es gibt jedoch keinen Grund, warum das Feld und das Momentum nicht pendeln sollten, wenn sie zeitlich gut getrennt sind. Grob gesagt haben sie einfach nicht wirklich etwas miteinander zu tun. Die logische Schlussfolgerung ist, dass man zeitgleiche Kommutierungsbeziehungen verwenden sollte, die angeben, dass die Größen nicht zu gleichen Zeiten kommutieren, aber wenn sie zeitlich gut getrennt sind.

SRS · Answer 3

Lassen Sie mich eine Antwort skizzieren, die in der Referenz A First Book of Quantum Field Theory von Lahiri und Pal (Zweite Ausgabe, Seite $30$ ).

Gemäß dieser obigen Referenz ist der Kommutator

\begin{matrix} (1) & [ϕ (T, X), π (T, j)] = ich δ^{(3)} (X - j) \end{matrix}

$[\phi(t,\textbf{x}),\pi(t,\textbf{y})]=i\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})\tag{1}$ ist tatsächlich kovariant, obwohl die Kovarianz nicht manifest ist!

Wenn zwei Raumzeitpunkte in einem Inertialsystem zusammenfallen, fallen sie auch in verschiedenen Inertialsystemen zusammen. Daher zumindest für den Spezialfall wann $x=y$ (dh, $x^0=y^0=t$ Und $\textbf{x}=\textbf{y}$ ), die Vertauschungsrelation $(1)$ in einem anderen Inertialsystem in gleicher Form erfüllt wird.

Fragen wir nun, ob die Relation $(1)$ transformiert sich im Allgemeinen kovariant unter der Lorentz-Transformation. Das erste, was zu beachten ist, ist das $\phi$ ist ein Skalar, und $\pi=\partial_0\phi$ . Daher kommt die Lorentz-Transformationseigenschaft der LHS $\partial_0$ was deutlich macht, dass LHS sich wie die Zeitkomponente eines Vierervektors transformieren muss. Nun, da

\begin{matrix} (2) & \int D T \int D^{3} j δ^{(3)} (X - j) = \int D T \end{matrix}

$\int dt\int d^3\textbf{y}\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})=\int dt\tag{2}$ Und

d^{4} y = d t d^{3} y

$d^4y=dtd^3\textbf{y}$ ist Lorentz-invariant,

δ^{(3)} (x - y)

$\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})$ muss sich auch wie die Zeitkomponente eines Vierervektors transformieren. Deshalb,

(1)

$(1)$ ist kovariant.

hallo · Answer 4

Die Feldoperatoren sind im Heisenberg-Bild definiert, und der zeitgleiche Kommutator im Heisenberg-Bild ist einfach der übliche Kommutator im Schrödinger-Bild. Es ist also wirklich dasselbe wie im normalen QM!

Wie Sie darauf hingewiesen haben, ist der Begriff "gleiche Zeit" nicht Lorentz-invariant. Tatsächlich wird im kanonischen Quantisierungsverfahren die Lorentz-Invarianz der zugrunde liegenden Feldtheorie verdeckt, weil wir die Zeitrichtung herausgreifen müssen. Die Lorentz-Invarianz geht jedoch nicht verloren, obwohl sie nicht manifest ist.

Andererseits manifestiert sich die Lorentz-Invarianz in der Wegintegralquantisierung, was einer der Vorteile dieses Verfahrens ist.

Zeitgleiche Kommutierungsbeziehungen in der kanonischen Quantisierung relativistischer Freifelder

SRS

Jäger

Danu

JoshPhysik

JoshPhysik

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Valter Moretti

Danu

SRS

hallo

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