Ist eine "dritte Quantisierung" möglich?

Noch eine Antwort gegen „zweite Quantisierung“, weil ich denke, dass es eine gute Demonstration dafür ist, wie eine lahme Notation eine physikalische Bedeutung verschleiern kann.

Die erste Aussage lautet : Es gibt keine zweite Quantisierung. Hier ist zum Beispiel ein Zitat aus Steven Weinbergs Buch „ The Quantum Theory of Fields “ Vol.I:

Es wäre gut, wenn der irreführende Ausdruck „zweite Quantisierung“ endgültig abgeschafft würde.

[Ich würde sogar sagen, dass es überhaupt keine Quantisierung als Verfahren gibt, um von der klassischen Theorie zur Quantentheorie überzugehen, weil (zum Beispiel) die Quantenmechanik einzelner Teilchen fundamentaler ist als die klassische Mechanik, daher können Sie alle „klassischen “ ergibt sich aus QM, aber nicht umgekehrt. Aber ich verstehe, dass es eine zu spekulative Antwort ist.]

Es gibt ein Verfahren namens „kanonische Quantisierung“, das verwendet wird, um eine Quantentheorie für ein klassisches System mit Hamiltonscher Dynamik zu konstruieren, oder allgemeiner, um eine Quantentheorie zu konstruieren, die eine bestimmte klassische Grenze hat.

Wenn Sie in diesem Fall durch die „kanonische Quantisierung“ eines Hamiltonschen Systems mit endlicher Anzahl von Freiheitsgraden (klassische Mechanik) eine Quantenmechanik (QM) mit fester Teilchenzahl implizieren, dann ist die Quantenfeldtheorie (QFT) die „kanonische Quantisierung“ eines klassischen Hamiltonschen Systems mit unendlich vielen Freiheitsgraden – klassische Feldtheorie, nicht Quantenmechanik . Für ein solches Verfahren gibt es keinen Unterschied zwischen der Quantisierung der elektromagnetischen Feldmoden und der Quantisierung von Schwingungsmoden der Oberfläche des Tröpfchens aus superflüssigem Helium.

Noch ein Zitat aus Weinbergs Buch:

Die Wellenfelder$\phi$,$\varphi$usw. sind überhaupt keine Wahrscheinlichkeitsamplituden ...

Es ist nützlich, sich folgende Analogie vor Augen zu führen: Die Koordinaten sind die „klassische Konfiguration“ eines Teilchens. QM-Wellenfunktion$\psi(x)$entspricht dem „Verschmieren“ eines Quantenteilchens über alle möglichen „klassischen Konfigurationen“. QFT-Wellenfunktion$\Psi(A)$entspricht dem „Verschmieren“ eines Quantenfeldes über alle möglichen Konfigurationen eines klassischen Feldes$A$. Operator$\hat{A}$entspricht dem Beobachtbaren$A$genauso beobachtbar$x$wird durch hermitesche Operatoren dargestellt$\hat{x}$im QM.

Die zweite Aussage lautet : „kanonische Quantisierung“ ist im Kontext der Fundamentaltheorie irrelevant. QFT ist die einzige Möglichkeit, die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie zu verbinden und kann ohne Bezugnahme auf "klassische Krücken" abgeschlossen werden.

Fazit : Es gibt keine Folge von „Quantisierungen“ (1., 2.,.. n.).

Die (erste) Quantisierung ist ein solides mathematisches Verfahren: Normalerweise ordnet sie eine Funktion zweier Variablen zu$a(x,\xi):\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$, ein Operateur$a(x,D_x)$($D_x$ist die Ableitung multipliziert mit$-i$) an$L^2(\mathbb{R}^d)$. Es gibt verschiedene Arten der Quantisierung (z. B. Weyl, Wick, Anti-Wick, Born-Jordan), die unterschiedlich mit den Mehrdeutigkeiten in der Ordnung des Multiplikationsoperators umgehen$x$und die Ableitung$D_x$. Die physikalische Interpretation in der Quantenmechanik ist einfach: Eine klassische Funktion von Ort und Impuls entspricht einem Operator (abhängig von den quantenkanonischen Variablen) auf dem Hilbert-Raum.

Der Fock-Raum der Quantenfeldtheorie ist eine unendliche Summe von Hilbert-Räumen, jeder ein Tensorprodukt des Ein-Teilchen-Raums ($L^2$), richtig symmetriert. Aufgrund seiner besonderen Struktur kann einem gegebenen Operator auf dem Ein-Teilchen-Raum ein Operator auf dem vollen Fock-Raum zugeordnet werden. Dieses Verfahren kann aus mathematischer Sicht noch einmal strenger gemacht werden und wird als zweite Quantisierung bezeichnet. Der Name ist auf die Analogie zur oben beschriebenen Quantisierung zurückzuführen: Der Ein-Teilchen-Operator ist das Analogon der Phasenraumfunktion, und der Operator auf dem vollen Fock-Raum hängt von den kanonischen Variablen ab, dh den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Es ist möglich, zuerst eine Funktion des Phasenraums zu quantisieren und dann das Ergebnis als zweites zu quantisieren, um einen Operator des Fock-Raums zu erhalten.

Dies ist nur eine Frage der Terminologie; Dennoch ist es das Standardverfahren, das verwendet wird, um die Struktur von Quantensystemen abzuleiten, ausgehend von dem, was wir leicht beobachten können (die klassischen Analoga). Die Quantisierung ist auch ein sehr mächtiges mathematisches Werkzeug, auch wenn es als das Gegenteil davon angesehen werden kann, wie die Natur funktioniert.

Der Fock-Raum kann ausgehend von jedem trennbaren Hilbert-Raum konstruiert werden, und der Fock-Raum ist ein trennbarer Hilbert-Raum. Wir können uns also einen Fock-Raum von Fock-Räumen vorstellen. Lassen$\Gamma(L^2)$sei der erste Fock-Raum, und$\Gamma(\Gamma(L^2))$der Zweite. Dann die zweite Quantisierung eines Operators weiter$\Gamma(L^2)$würde zu einem Operator führen$\Gamma(\Gamma(L^2))$, und wir können es die dritte Quantisierung des Operators nennen. Offensichtlich kann diese Idee iteriert werden, um sie zu erhalten$n$te Quantisierung. Aber abgesehen davon, dass ich eine mathematische Kuriosität bin, habe ich keine Ahnung, wie die physikalische Interpretation dieser weiteren Quantisierungen aussehen könnte.

Für mathematische Informationen zum Verfahren der zweiten Quantisierung siehe beispielsweise den zweiten Band des Buches von Reed und Simon. Für die erste Quantisierung können Sie die Bücher von Hormander "Analysis of Linear Partial Differential Operators", insbesondere Kapitel XVIII; aber dieses Buch braucht viel mathematischen Hintergrund.

Ich stimme Kostya zu, dass diese Namen veraltet sind und in diesem Sinne vermieden werden sollten (A. Zees Buch „QFT in a Nutshell“ macht diesen Punkt ziemlich direkt).

Wenn Sie sich nun den Vorgang der "Quantisierung" als Funktor vorstellen , gelangen Sie zu den Konstruktionen von Baez. Beachten Sie jedoch, dass die Objekte, auf die dieser „Quantisierungsfunktor“ einwirkt, sich zunehmend von dem unterscheiden, was Sie vielleicht erwarten.

Ein Beispiel, das mir in den Sinn kommt, ist die Quantisierung von Gerbes , die in der Hochenergiephysik auftaucht (siehe Abschnitt 3 von Geometric Langlands From Six Dimensions ). Aber diese Objekte sind aus physikalischer Sicht sehr unintuitiv: Sie erhalten nicht einmal eine Aktion , die dieser Konstruktion zugeordnet ist.

Am weitesten in diese Richtung sind wir an diesem Punkt also mit der String-Field-Theorie gekommen. Aber in gewisser Weise ist „Quantisierung“ immer noch ein Mysterium…

Im Zusammenhang mit der Quantenfeldtheorie ist Weinbergs Rat, den Begriff „zweite Quantisierung“ zu ignorieren, ein guter Rat. Um jedoch über die Quantenfeldtheorie hinauszugehen, ist alles erlaubt, und einige Leute haben die Idee der Mehrfachquantisierung als spekulative Idee gefördert, die fruchtbar sein könnte. Es ist keine beliebte Idee, wie Sie den anderen Antworten entnehmen können, aber die Antwort auf diese Frage wäre nicht vollständig, ohne sie zu erwähnen.

Beachten Sie, dass der Begriff "dritte Quantisierung" im Zusammenhang mit der Quantenkosmologie verwendet wird und nicht wirklich eine zusätzliche Quantisierung nach der zweiten Quantisierung bedeutet. Wenn Sie etwas über die Realität erfahren möchten, suchen Sie nach Begriffen wie "Mehrfachquantisierung", "Iterierte Quantisierung", "Wiederholte Quantisierung", "Vierte Quantisierung" oder "Unendliche Quantisierung" (und ignorieren Sie alles über Datenkomprimierung).

Sie werden feststellen, dass die Ergebnisse spekulativ, vielfältig und unvollständig, aber nicht immer völlig verrückt sind. Ich denke nicht, dass die Leute sich über die Idee aufregen sollten, aber sie sollte auch nicht unbekümmert abgetan werden. Es ist nur etwas, das Sie im Hinterkopf behalten sollten, wenn Sie beispielsweise versuchen, die Struktur von Theorien über die Quantengravitation zu verstehen.

Wow, das ist eine sehr gute Frage. Leider kann ich keine Frage aufschreiben, weil ich keine habe.

Trotzdem habe ich versucht, etwas im Zusammenhang mit der dritten Quantisierung in arxiv zu finden, und überraschenderweise (oder nicht so überraschend) finden Sie einige Artikel zu diesem neuen Schritt.

Nur um ein paar zu nennen:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606021

http://arxiv.org/abs/hep-th/9212044

Ich hoffe wirklich, dass jemand hier eine vollständige Antwort bekommen kann.

Die zweite Quantisierung ist eine Möglichkeit, Dinge neu zu formulieren. Die zweite Quantisierung definiert Felder über dem Fock-Raum, sodass früher Wellen jetzt Parameter von Feldamplituden sind. Ich habe die Stringtheorie als „dritte Quantisierung“ bezeichnet, aber meiner Meinung nach ist dies wahrscheinlich ein Sprachmissbrauch. Zu einer Zeit, als Membranen zum ersten Mal in Betracht gezogen wurden, fiel der Begriff vierte Quantisierung einige Male, obwohl ich eher im Scherz denke.

Am Ende ist alles nur Quantisierung, und Weinberg hat wahrscheinlich Recht, wenn er die numerische Reihenfolge der Quantisierung ignoriert. Schreiben nichtrelativistischer QM gem$a$und$a^\dagger$wird von einigen als zweite Quantisierung bezeichnet, aber eigentlich hat sich nicht viel geändert.

Soweit ich weiß, ist die Stringtheorie die Quantisierung einer konformen Quantenfeldtheorie, die als klassische Theorie behandelt wird - anscheinend genauso wie ein Spinor-Quantenfeld die Quantisierung des Dirac-Teilchens, die als klassisches Feld behandelt wird. Somit ist es ein prominentes Beispiel für dritte Quantisierung.

Es gibt einen ziemlich interessanten Artikel, in dem sie einen Trick anwenden, den sie "Third Quantization" nennen, um offene Fermi-Systeme zu untersuchen.

http://iopscience.iop.org/1367-2630/10/4/043026 (offener Zugang nicht weniger!)

Es ist nicht genau das, was Sie im Sinn haben, aber wie all diese anderen Antworten deutlich machen, ist "dritte Quantisierung" unter Physikern nicht wirklich kanonisch.

3. Quant IST nicht nur möglich, sondern wird jetzt auch eingesetzt, um eine Quantentheorie des Multiversums zu entwickeln. Erstmals vor 60 Jahren von Nambu erfunden, wurde es erstmals in der Stringtheorie (Strominger) eingesetzt, um die Topologieänderung zu beschreiben, in Analogie zum 2. Quant, das zur Erklärung der Teilchenerzeugung / -vernichtung verwendet wird.