Erste Quantisierung vs. zweite Quantisierung

Es ist sehr kompliziert, eine konsistente Quantentheorie von Grund auf neu zu konstruieren. Eine der allgemeinsten Methoden dazu besteht darin, eine klassische Theorie zu nehmen und einige ihrer Bestandteile zu imitieren – die wichtigsten sind die symplektische Struktur und die Erzeuger von Symmetrien. Dies wird Quantisierung genannt, weil die Quantentheorie auf der Grundlage einer klassischen Theorie aufgebaut ist. Man sollte darauf hinweisen, dass die klassische Theorie nur der Konsistenz dient und keine physikalische Bedeutung haben muss: Uns interessiert nur die Quantentheorie; das klassische ist nur ein formales Werkzeug. Beispielsweise muss die klassische Theorie nichts mit einer möglichen makroskopischen Grenze der Quanteneins zu tun haben. Die beiden Theorien sind konzeptionell nicht miteinander verbunden, und die Quantentheorie ist nicht von der Existenz der klassischen abhängig.

Wenn die Phasenraumvariablen der klassischen Theorien Trajektorien sind, nennen wir den Vorgang der Quantisierung "zuerst". Wenn die Phasenraumvariablen Felder sind, nennen wir es "zweite" Quantisierung. Dies ist nur ein historischer Name ohne tiefere Bedeutung. Der Vorgang der Quantisierung selbst ist bei der 1. und 2. Quantisierung identisch, die beiden Klassen unterscheiden sich also nicht wirklich grundlegend. Der einzige wirkliche Unterschied besteht darin, dass wir im ersten Fall eine feste und endliche Anzahl von Freiheitsgraden haben, während wir im zweiten Fall eine beliebig große (aber auch endliche) Anzahl von Freiheitsgraden haben und uns die Grenze interessiert unendlicher Freiheitsgrade, falls vorhanden.