Können wir die Äquivalenz zwischen kanonischer Quantisierung von Feldern und zweiter Quantisierung von Teilchen „trivialisieren“?

Die angenommene Äquivalenz zwischen der kanonischen Quantisierung und der Fock-Raum-Darstellung ist nur ein Sonderfall.

Der kanonische Formalismus sieht nur kanonische Poisson-Klammern vor. Der erste Schritt gemäß den Axiomen von Dirac besteht darin, die Poisson-Klammern durch Kommutatoren zu ersetzen, und da diese Kommutatoren die Jacobi-Identität erfüllen, können sie durch lineare Operatoren auf einem Hilbert-Raum dargestellt werden.

Die kanonische Quantisierung spezifiziert den Hilbert-Raum nicht.

Einen Hilbert-Raum zu finden, in dem die Operatoren linear wirken und die Kommutierungsbeziehungen erfüllen, ist ein Problem in der Darstellungstheorie. Diese Aufgabe wird in der modernen Literatur als "Quantisierung" bezeichnet.

Das Problem ist, dass dieses Problem im Falle freier Körper keine eindeutige Lösung hat (bis auf eine unitäre Transformation im Hilbert-Raum). Diese Situation wird als Existenz inäquivalenter Quantisierungen oder inäquivalenter Darstellungen bezeichnet. Die Fock-Darstellung ist nur ein Sonderfall. Einige der Quantisierungen werden "Nicht-Fock" genannt, da der Hilbert-Raum keine zugrunde liegende Fock-Raumstruktur hat (dh nicht als freie Teilchen interpretiert werden kann), aber es kann sogar inäquivalente Fock-Darstellungen geben.

Bevor ich fortfahre, möchte ich Ihnen sagen, dass inäquivalente Quantisierungen die Bereiche sein können, in denen „neue Physik“ entstehen kann, weil sie unterschiedlichen Quantensystemen entsprechen können.

Lassen Sie mich auch betonen, dass die Situation im endlichdimensionalen Fall völlig anders ist. Denn aufgrund des Stone-von-Neumann-Theorems ist jede Darstellung der kanonischen Kommutierungsbeziehungen in der Quantenmechanik einheitlich äquivalent zur Darstellung des harmonischen Oszillators. Somit stellt sich die Frage nach inäquivalenten Darstellungen der kanonischen Vertauschungsrelationen nur aufgrund der unendlichen Dimensionalität.

Einige Beispiele für inäquivalente Quantisierungen der kanonischen Kommutierungsbeziehungen eines Skalarfeldes auf einer Minkowski-Raumzeit finden Sie im folgenden Artikelvon: Moschella und Schaeffer. In diesem Artikel konstruieren sie inäquivalente Darstellungen mittels Bogoliubov-Transformation, die das Vakuum verändert, und präsentieren auch eine Thermofelddarstellung. In all diesen Darstellungen werden die kanonischen Operatoren auf einem Hilbert-Raum dargestellt und die kanonischen Kommutierungsbeziehungen erfüllt. Die von Bogoliubov verschobenen Vakuumfälle entsprechen gebrochenen Poincare-Symmetrien. Man kann argumentieren, dass diese Lösungen unphysikalisch sind, aber das Symmetrie-Argument wird im Fall der Quantisierung auf einer allgemeinen gekrümmten inhomogenen Mannigfaltigkeit nicht ausreichen. In diesem Fall haben wir kein "physikalisches" Argument, um einige der unäquivalenten Darstellungen abzulehnen.

Die Phänomene inäquivalenter Quantisierungen können auch bei endlich vielen Freiheitsgraden auf nichtebenen Phasenräumen vorhanden sein.

Nach all dem möchte ich Ihnen dennoch eine direktere Antwort auf Ihre Frage geben (obwohl sie aus den oben genannten Gründen nicht eindeutig sein wird). So wie ich die Frage verstehe, kann festgestellt werden, dass es einen Algorithmus gibt, um vom Einzelteilchen-Hilbert-Raum zum Fock-Raum zu gelangen. Dieser Algorithmus kann durch die Fock-Faktorisierung zusammengefasst werden:

Wo$\mathcal{h}$ist der Einzelteilchen-Hilbert-Raum und$\mathcal{F}$ist der Fockraum. Wie bereits erwähnt, liefert uns die kanonische Quantisierung nur die kanonischen Kommutierungsbeziehungen:

Zu diesem Zeitpunkt haben wir nur eine ($C^{*}$)Algebra der Operatoren. Die umgekehrte Frage nach der Existenz eines Algorithmus, der von den kanonischen Kommutierungsrelationen ausgeht und mit dem Fock-Raum endet (oder äquivalent die Antwort auf die Frage, wo ist der Hilbert-Raum?), liefert die Gelfand-Naimark-Segal-Konstruktion (GNS) , das Darstellungen von bereitstellt$C^{*}$Algebren in Bezug auf beschränkte Operatoren auf einem Hilbert-Raum.

Die GNS-Konstruktion beginnt mit einem Zustand$\omega$was eine positive lineare Funktion in der Algebra ist$\mathcal{A}$(in unserem Fall ist die Algebra die Vervollständigung aller möglichen Produkte beliebiger Zahlenerstellungs- und Vernichtungsoperatoren).

Der zweite Schritt besteht darin, die gesamte Algebra als anfänglichen linearen Raum zu wählen$\mathcal{A}$. Im Allgemeinen wird es Nullelemente geben, die Folgendes erfüllen:

Der Hilbert-Raum wird erhalten, indem Elemente identifiziert werden, die sich durch einen Nullvektor unterscheiden:

($\mathcal{N}$ist der Raum der Nullvektoren).

Das Skalarprodukt auf diesem Hilbertraum ist gegeben durch:

Es kann bewiesen werden, dass die GNS-Konstruktion eine zyklische Darstellung ist, bei der der Hilbert-Raum durch die Wirkung von Operatoren auf einen zyklischen "Vakuumvektor" gegeben ist. Die GNS-Konstruktion liefert alle inäquivalenten Darstellungen eines Gegebenen$C^{*}$Algebra (durch beschränkte Operatoren). Im Falle eines freien Skalarfeldes die Wahl eines durch seine charakteristische Funktion definierten Gaußschen Zustands:

Wo$z_{\mathbf{k}}$sind Unbestimmte, die durch differenziert werden können, um das Ergebnis für jedes Produkt von Operatoren zu erhalten.

Die Nullvektoren dieser Konstruktion sind nur Kombinationen, die aufgrund der kanonischen Kommutierungsbeziehungen verschwinden (wie$a_1 a_2 - a_2 a_1$). Somit hat diese Wahl Bose-Statistiken. Auch Unterräume, die von einem Produkt einer bestimmten Anzahl von Erzeugungsoperatoren überspannt werden, sind die Anzahl Unterräume.

Der Zustand dieser spezifischen Konstruktion wird bezeichnet durch:$\omega_{\mathcal{F}}$, da es den üblichen Fock-Raum erzeugt. Unterschiedliche Zustandswahlen können zu unäquivalenten Quantisierungen führen.

Die Äquivalenz scheint mir offensichtlich. Ich werde versuchen, meinen Gedankengang zu erklären.

Bei beiden Ansätzen beginnt man mit der Poincare-Gruppe.

Im ersten Ansatz beginnen Sie nun damit, einen Fock- Zustandsraum mit der einzigen zusätzlichen Anforderung der Kausalität zu konstruieren. Das Ergebnis ist, dass Ihr Raum durch raumzeitabhängige Operatoren erstellt wird (da sonst keine Kausalität erzwungen werden könnte), dh Felder mit Operatorwerten. Diese Felder gehorchen kanonischen (Fock-Raum erzeugenden) kovarianten (Anforderungs-) Vertauschungsbeziehungen.

Beim zweiten Ansatz konstruieren Sie zunächst Felder aus den Poincare-Darstellungen und quantisieren diese dann mit der zusätzlichen Anforderung der Kausalität. Auch hier erlegen Sie Ihren Feldern kanonische (Fock-Raum-erzeugende) kovariante (Anforderungs-) Kommutierungsbeziehungen auf.

Der Unterschied liegt in der Perspektive. Während Sie beim ersten Ansatz Ihre Teilchenzustände als grundlegender erachten und einen Operator suchen, der Ihren physischen Raum erzeugt, sieht der zweite Ansatz die Felder als wichtiges Objekt und erzeugt die Mehrteilchenzustände "auf dem Weg".

Auf diese grundsätzliche Frage möchte ich hier einen Versuch einer Antwort geben, und zwar an folgendem einfachen Beispiel:

Stellen Sie sich einen Kristall vor, der enthält$m$Atome, die sich um die Gitterplätze herum befinden, und jedes Atom am Platz$i$hat eine klassische Felder$(x_i,p_i)$(Ort und Impuls), nach kanonischer Quantisierung (erste Quantisierung), die klassischen Felder$(x_i,p_i)$wird zum Betreiber befördert$(\hat{x}_i,\hat{p}_i)$mit Vertauschungsbeziehungen$[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\hbar \delta_{ij}$. Führen Sie außerdem die Leiteroperatoren ein$a_i=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{x}_i+i\hat{p}_i)$und sie befriedigen$[a_i,a_j^\dagger]=\delta_{ij}$. Nun ist es aufschlussreich, die simultanen Eigenzustände zu verwenden$\mid n_1,\cdots,n_m >_c$der Operateure$\hat{n}_1,\cdots ,\hat{n}_1$(wo$\hat{n}_i=a_i^\dagger a_i$) als Grundlage des Kristall-Hilbert-Raums$V_c$, wo$\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c,i=1,2,\cdots,m$.

Betrachten Sie andererseits die zweite Quantisierung von Bosonenteilchen und lassen Sie$b_i,b_i^\dagger$seien die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren, der Index$i$repräsentiert die$i$ten einzelnen Bosonenzustand und$i$läuft von$1$zu$m$. Die Teilchenzahloperatoren sind definiert als$\hat{n}_i=b_i^\dagger b_i$, und die Besetzungsbasis des Bosonen-Hilbert-Raums$V_b$ist$\mid n_1,\cdots,n_m >_b$wo$\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b,i=1,2,\cdots,m$.

Lassen Sie uns schließlich eine Karte zwischen dem Kristall-Hilbert-Raum definieren$V_c$und der Boson-Hilbert-Raum$V_b$indem$\mid n_1,\cdots,n_m >_c= \mid n_1,\cdots,n_m >_b$, was eine Äquivalenz zwischen Atomen und einzelnen Bosonenzuständen herstellt . Und ich denke, das ist nur die Äquivalenz zwischen der kanonischen Quantisierung klassischer Felder$(x_i,p_i)$und zweite Quantisierung von Bosonenteilchen$b_i,b_i^\dagger$wie du erwähnt hast.

Soweit ich weiß, können Sie sich einfach nicht mit nicht-störender Physik befassen, wenn Sie versuchen, die Einzelteilchenzustände einer zweiten Quantisierung zu unterziehen, da dies a priori störende Anregungen um den Vakuumzustand herum sind. Sie vermissen zum Beispiel Instantons , topologische Effekte ... Versuchen Sie, QCD auf diese Weise durchzuführen, und sehen Sie, wie weit Sie kommen.

Sie müssen an die grundlegende Bedeutung des harmonischen Oszillators im Bereich der Relativisten denken.

Beschränken wir uns hier der Einfachheit halber auf ein reales skalares masseloses bosonisches freies relativistisches Feld$\Phi(x,t)$, die Gleichung lautet:

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta) \Phi(x,t)=0$

Durch Fourier-Transformation auf räumliche Koordinaten erhalten Sie:

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi(k,t)=0$

wo$\Phi(k,t)$ist die räumliche Fourier-Transformation von \Phi(x,t). Wir hätten die Notation verwenden können$\tilde \Phi_k(t)$, mit$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi_k(t)=0$.

Dies zeigt, dass es sich, wenn wir an ein relativistisches Feld denken, tatsächlich (zumindest für bosonische Felder) um eine Sammlung unabhängiger harmonischer Oszillatoren handelt$\tilde \Phi_k(t)$. Das$2$Definitionen sind völlig gleichwertig, und keine ist besser als die andere.

Quantisieren Sie nun das Feld$\Phi(x,t)$, ist dasselbe wie das Quantisieren der Sammlung harmonischer Oszillatoren$\tilde \Phi_k(t)$. Keine Quantisierung ist besser als die andere. Wir wissen, wie das geht, indem wir schreiben:

$\tilde \Phi_k(t) \sim a_k e^{-i|k| t} + a_k^+ e^{+i|k| t}$

mit$[a_k, a_k^+]=1$(Hier haben wir eine naive Korrespondenz geführt, die das ignoriert hat$k$ist ein kontinuierlicher Index)

Die harmonischen Oszillatoren sind unabhängig, und$k$Da es sich um einen kontinuierlichen Index handelt, erstreckt sich dies natürlich auf die bekannten Beziehungen$[a_k, a_k'^+]=\delta(k-k')$