Äquivalenz von klassischer und quantisierter Bewegungsgleichung für ein freies Feld

Nehmen wir an, dass es keine Hindernisse für die Quantisierung, Bestellprobleme usw. gibt. Dies ist in den meisten physikalischen Fällen vollkommen in Ordnung, und ich denke, dies macht die Antwort verständlicher.

Die Antwort besteht aus zwei Teilen:

1. Da der Quanten-Hamiltonian nichts anderes ist als der klassische Hamiltonian mit Hüten in den Feldern und Impulsen $$\hat H=H_{cl}\, (\hat \Pi , \hat \Phi)$$ und dass er Dirac Rezept hält $$[\cdot, \square]=i\hbar \{\cdot , \square\}$$ mit dem Punkt und dem Quadrat irgendein Feld oder Impuls, dann ist klar, dass die klassische und die Quantenbewegungsgleichung im Heisenberg-Bild formal gleich sind.
2. Wenn die Bewegungsgleichungen in den Feldern linear sind, dann ist die bisherige formale Äquivalenz zusätzlich "real", nämlich: Die Erwartungswerte der Felder entwickeln sich wie die klassischen Felder. Das ist der Satz von Ehrenfest.

Beispiel: Betrachten Sie der Einfachheit halber das folgende quantenmechanische Problem (die Verallgemeinerung auf QFT ist unmittelbar):

$$H_{cl} (P,Q)= {P^2\over 2}+{Q^2\over 2}+g{Q^3\over 3}$$ mit den Standard-Poisson-Klammern. Beachten Sie, dass dies der harmonische Oszillator (in einigen praktischen Einheiten, bei denen Masse und Frequenz auf 1 gesetzt sind) plus ein Wechselwirkungsterm ist. Die klassische Bewegungsgleichung erhält man, wie Sie sehr gut wissen (unter Verwendung von Poisson-Klammern mit dem Hamilton-Operator) und lautet in ihrer Form zweiter Ordnung: $$\ddot Q + Q + gQ^2=0$$ Bisher alles klassisch. Nun ist der Quanten-Hamiltonoperator einfach: $$\hat H= H_{cl}\, (\hat P , \hat Q)= {\hat P^2\over 2}+{\hat Q^2\over 2}+g{\hat Q^3\over 3}$$ mit den aus der Dirac-Vorschrift erhaltenen kanonischen Vertauschungsbeziehungen. Wir befinden uns im Heisenberg-Bild. Wie Sie überprüfen sollten (unter Verwendung von Kommutatoren mit dem Hamilton-Operator), lautet die Quantengleichung der Bewegung: $$\ddot {\hat Q} +\hat Q + g\hat Q^2=0$$
Dies ist der vorherige erste Teil; Wie Sie sehen, sind beide Gleichungen formal gleich.

Allerdings interessiert uns physikalisch — eher als formal — die Evolution der Erwartungswerte von Observablen statt der Evolution der eigenen Operatoren$\hat Q$im Heisenberg-Bild (diese Operatoren hängen im Schrödinger-Bild nicht von der Zeit ab, und die Physik kann nicht von dem Bild abhängen, für das sich Menschen entscheiden). Wir können also den Erwartungswert der vorherigen Gleichung in einem generischen Zustand nehmen$|\Psi \rangle$

$$\frac{d^2}{dt^2} {\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle }+\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle + g\langle \Psi |\hat Q^2|\Psi\rangle =0$$ Beachten Sie, dass sich physikalische Zustände nicht mit der Zeit entwickeln, da wir uns im Heisenberg-Bild befinden, und wir dürfen die Zeitableitungen aus dem Erwartungswert herausschreiben. Die große Frage ist: Bedeutet diese Gleichung, dass sich der Erwartungswert der Quantenobservablen (der physikalischen Sache) klassisch entwickelt? Und die Antwort ist rundweg negativ, denn: $$\langle \Psi |\hat Q^2|\Psi\rangle \neq\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle ^2$$ das heißt: im Allgemeinen ist der Erwartungswert des Quadrats nicht das Quadrat des Erwartungswerts (die Differenz ist das Quadrat der Standardabweichung oder Unbestimmtheit).

Im$g=0$Falls der letzte Term fehlt, ist die Gleichung linear und die Entwicklung des Quantenerwartungswerts ist klassisch. Das heißt, anrufen$q\equiv \langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle$:

$$\ddot q + q=0$$ das ist die klassische Gleichung (mit $g=0$).