Das allgemeinste Verfahren zur Quantisierung

Die Gesamtidee ist die folgende. Da die symplektische Mannigfaltigkeit affin ist (im Sinne von affinen Räumen, nicht im Sinne der Existenz einer affinen Verbindung), wenn Sie einen Punkt festlegen$O$, wird die Mannigfaltigkeit zu einem reellen Vektorraum, der mit einer nicht entarteten symplektischen Form ausgestattet ist. Ein Quantisierungsverfahren ist nichts anderes als die Zuordnung einer (Hilbert-) Kahler-Struktur zur Vervollständigung der symplektischen Struktur. Auf diese Weise wird der reelle Vektorraum zu einem komplexen Vektorraum, der mit einem hermiteschen Skalarprodukt ausgestattet ist, und seine Vervollständigung ist ein Hilbert-Raum, in dem man die Quantentheorie definiert. Wie ich im folgenden Beispiel gleich beweisen werde, werden symplektische Symmetrien zu unitären Symmetrien, sofern die Hilbert-Kahler-Struktur unter der Symmetrie invariant ist. Auf diese Weise führt die Zeitentwicklung in der Hamiltonschen Beschreibung zu einer einheitlichen Zeitentwicklung.

Ein interessantes Beispiel ist das folgende. Betrachten Sie eine glatte global hyperbolische Raumzeit $M$und der reelle Vektorraum$S$von glatten reellen Lösungen $\psi$der reellen Klein-Gordon-Gleichung so, dass sie Cauchy-Daten kompakt gestützt haben (auf einer und damit jeder Cauchy-Fläche der Raumzeit).

Eine nicht entartete (wohldefinierte) symplektische Form ist gegeben durch:

$$\sigma(\psi,\phi) := \int_\Sigma (\psi \nabla_a \phi - \phi \nabla_a \psi)\: n^a d\Sigma$$ wo $\Sigma$ist eine glatte raumartige Cauchy-Fläche, $n$sein normalisierter normaler Vektor, der auf die Zukunft zeigt und $d\Sigma$die durch die Metrik der Raumzeit induzierte Standardvolumenform. Im Hinblick auf die KG-Gleichung ist die Wahl von $\Sigma$spielt keine Rolle, wie man leicht mit dem Divergenzsatz beweisen kann.

Es gibt unendlich viele Kahler-Strukturen, die man hier aufbauen kann. Ein Verfahren (eines der möglichen) besteht darin, ein reelles Skalarprodukt zu definieren:

$$\mu : S \times S \to R$$ so dass $\sigma$ist diesbezüglich stetig (der Faktor $4$ergibt sich aus reiner späterer Bequemlichkeit): $$|\sigma(\psi, \phi)|^2 \leq 4\mu(\psi,\psi) \mu(\psi,\psi)\:.$$ Unter diesen Hypothesen kann, wie ich zusammenfassen möchte, eine Hilbert-Kahler-Struktur definiert werden.

Es ist möglich zu beweisen, dass es einen komplexen Hilbert-Raum gibt$H$und ein Injektiv$R$-lineare Karte$K: S \to H$so dass$K(S)+ i K(S)$ist dicht drin$H$und wenn$\langle | \rangle$bezeichnet das Hilbert-Raumprodukt:

$$\langle K\psi | K\phi \rangle = \mu(\psi,\phi) -\frac{i}{2}\sigma(\psi,\phi) \quad \forall \psi, \phi \in S\:.$$ Endlich das Paar $(H,K)$ist bis auf unitäre Isomorphismen aus dem Tripel bestimmt $(S, \sigma, \mu)$.

Siehst du eigentlich,$H$ist eine Hilbertsche Komplexierung von$S$dessen antisymmetrischer Teil des Skalarprodukts die symplektische Form ist. (Es ist auch möglich, die fast komplexe Struktur der Theorie aufzuschreiben, die mit der polaren Zerlegung des darstellenden Operators zusammenhängt$\sigma$in der Schließung des reellen Vektorraums$S$ausgestattet mit dem reellen Skalarprodukt$\mu$.)

Was ist die physikalische Bedeutung von$H$?

Das ist es, was die Physiker Ein-Teilchen-Hilbert-Raum nennen . Betrachten Sie in der Tat den bosonischen Fock-Raum ,${\cal F}_+(H)$, erzeugt durch$H$.

$${\cal F}_+(H)= C \oplus H \oplus (H\otimes H)_S \oplus (H\otimes H\otimes H)_S \oplus \cdots\:,$$ und wir bezeichnen mit $|vac_\mu\rangle$die Nummer $1$in $C$als Vektor in angesehen ${\cal F}_+(H)$

Man kann von definieren${\cal F}_+(H)$eine getreue Darstellung der bosonischen CCR durch Definition des Feldoperators :

$$\Phi(\psi) := a_{K\psi} + a^*_{K\psi}$$

wo$a_f$ist der auf den Vektor bezogene Standard-Vernichtungsoperator$f\in H$und$a_f^*$der Standarderzeugungsoperator bezog sich auf den Vektor$f\in H$. Es stellt sich heraus, dass mit dieser Definition die Vakuumerwartungswerte:

$$\langle vac_\mu| \Phi(\psi_1)\cdots \Phi(\psi_n) |vac_\mu\rangle$$ erfüllen die Standardvorschrift von Wick und können daher alle nur in Bezug auf die Zweipunktfunktion berechnet werden : $$\langle vac_\mu| \Phi(\psi) \Phi(\phi) |vac_\mu\rangle$$ Außerdem stimmen sie mit der für Gaußsche Zustände gültigen Formel überein (wie freies Minkowski-Vakuum in der Minkowski-Raumzeit) $$\langle vac_\mu | e^{i \Phi(\psi)} |vac_\mu \rangle = e^{-\mu(\psi,\psi)/2}$$

Tatsächlich ist angesichts des GNS-Theorems die konstruierte Darstellung des CCR eindeutig bestimmt durch$\mu$, bis auf unitäre Äquivalenzen.

Der Feldoperator$\Phi$wird mit KG-Lösungen beschmiert statt mit glatt unterstützend verdichteten Funktionen$f$wie gewöhnlich. Die "Übersetzung" wird jedoch einfach erhalten. Wenn$E : C_0^{\infty}(M) \to S$bezeichnet den kausalen Propagator (die Differenz der fortgeschrittenen und verzögerten Fundamentallösung der KG-Gleichung), mit dem der übliche Feldoperator beschmiert ist$f\in C_0^{\infty}(M)$ist:

$$\hat{\phi}(f) := \Phi(Ef)\:.$$

Der CCR kann in beiden Sprachen angegeben werden. Schmierfelder mit KG-Lösungen hat man:

$$[\Phi(\psi), \Phi(\phi)] = i \sigma(\psi,\phi)I\:,$$

Feldoperatoren mit Funktionen beschmieren, hat man stattdessen:

$$[\hat{\phi}(f), \hat{\phi}(g)] = i E(f,g) I$$

Jede einparametrige Gruppe von symplektischen Diffeomorphismen $\alpha_t :S \to S$(zum Beispiel kontinuierliche Killing-Isometrien von$M$) führen zu einer Wirkung auf die Algebra der Quantenfelder

$$\alpha^*_t(\Phi(\psi)) := \Phi(\psi \circ \alpha_t)\:.$$ Wenn der Staat $|vac_\mu\rangle$ist unveränderlich unter $\alpha_t$, nämlich $$\mu\left(\psi \circ \alpha_t,\psi \circ \alpha_t\right) = \mu\left(\psi ,\psi \right)\quad \forall t \in R,$$ dann sieht man im Wesentlichen unter Verwendung des Satzes von Stone, dass die besagte kontinuierliche Symmetrie eine (stark kontinuierliche) einheitliche Darstellung zulässt: $$U_t \Phi(\psi) U^*_t =\alpha^*_t(\Phi(\psi))\:.$$ Der selbstadjungierte Generator von $U_t= e^{-itH}$ist ein Hamilton-Operator für diese Symmetrie. Eigentlich ist diese Interpretation geeignet, wenn $\alpha_t$entsteht durch eine zeitähnlich kontinuierliche Killing-Symmetrie. Minkowski-Vakuum wird auf diese Weise konstruiert und erfordert, dass das entsprechende $\mu$ist unter der gesamten orthochronen Poincaré-Gruppe unveränderlich.

Das ganze Bild, das ich skizziert habe, liegt zwischen der "praktischen" QFT und der sogenannten algebraischen Formulierung . Ich möchte nur betonen, dass die Wahl anders ist$\mu$man erhält im Allgemeinen einheitlich inäquivalente Darstellungen der bosonischen CCR.

Hier sind einige Kommentare zur Literatur, die vielleicht dazu dienen, Valter Morettis konkretere Antwort in eine breitere Perspektive zu rücken.

Die gestellte Frage ist eine überraschend gute Frage. Es ist "gut", weil es tatsächlich diese sehr allgemeine Vorschrift für die Quantisierung gibt; und "überraschenderweise", weil die allgemeine Idee zwar schon seit Ewigkeiten existiert, aber erst im letzten Jahr in anständiger Allgemeinheit verstanden wurde!

Einerseits wird nämlich im Rahmen der Quantenmechanik seit langem anerkannt, dass das, was Physiker pauschal „kanonische Quantisierung“ nennen, eigentlich dies ist: die Konstruktion des kovarianten Phasenraums als (prä-)symplektische Mannigfaltigkeit, und dann die Quantisierung this durch die Vorschrift von entweder algebraischer Deformationsquantisierung oder geometrischer Quantisierung .

Im Gegensatz dazu wurde erst in jüngerer Zeit überraschend verstanden, dass etablierte Methoden der perturbativen Quantisierung von Feldtheorien, insbesondere unter dem Deckmantel der kausalen Peruturbationstheorie von Epstein-Glaser (wie QED, QCD, aber auch perturbative Quantengravitation, wie in Scharfs Lehrbüchern) sind in der Tat auch Beispiele für diese allgemeine Methode.

Für freie Felder (keine Wechselwirkungen) wurde dies zuerst in verstanden

• J. Dito. "Sternproduktansatz zur Quantenfeldtheorie: Das freie Skalarfeld". Letters in Mathematical Physics, 20(2):125–134, 1990.

und dann in einer langen Reihe von Artikeln über lokal kovariante perturbative Quantenfeldtheorie verstärkt

von Klaus Fredenhagen und Mitarbeitern, beginnend mit

• M. Dütsch und K. Fredenhagen. "Störende algebraische Feldtheorie und Verformungsquantisierung". In R. Longo (Hrsg.), "Mathematical Physics in Mathematics and Physics, Quantum and Operator Algebraic Aspects", Band 30 der Fields Institute Communications, Seiten 151–160. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, 2001.

Seltsamerweise behandelten diese Autoren trotz dieser Einsicht die wechselwirkende Quantenfeldtheorie weiterhin mit der vergleichsweise ad hoc Bogoliubov-Formel, anstatt sie auf ähnliche Weise aus einer Quantisierung der (prä-)symplektischen Struktur des Phasenraums der wechselwirkenden Theorie abzuleiten.

Dieser letzte Schritt, um zu zeigen, dass die traditionelle Konstruktion der wechselwirkenden peturbativen Quantenfeldtheorie über zeitlich geordnete Produkte und die Formel von Bogoliubov auch aus der allgemeinen Vorschrift der Deformation/geometrischen Quantisierung des (prä-)symplektischen Phasenraums folgt, wurde unglaublicherweise erst zuletzt gemacht Jahr in der sehr empfehlenswerten Abschlussarbeit

• Giovanni Collini, Fedosov Quantisierung und Störungsquantenfeldtheorie arXiv:1603.09626

Lesen Sie einfach die Einleitung dieser Arbeit, es lohnt sich sehr.

(Ich habe von Igor Khavkine und Alexander Schenkel von diesem Artikel erfahren, wofür ich dankbar bin.)

In einem ähnlichen Geist erschien wenig später

• Eli Hawkins, Kasia Rejzner, The Star Product in Interacting Quantum Field Theory arxiv:1612.09157

die die Situation etwas allgemeiner diskutiert als Collini, aber die technischen Details der Renormierung in dieser Perspektive weglässt.