Quantisierung eines freien Feldes: Klein-Gordon-Fall

Ich bin Anfänger und lese diesen Kurstext zu QFT.

Der Autor führt zunächst die KG-Gleichung ein:

∂ μ ∂ μ ϕ + M 2 ϕ = 0

[mit Minkowski-Unterschrift ( + , − , − , − ) ]. Dann wird die Fourier-Transformation verwendet, um zu erhalten:

ϕ ( X , T ) = ∫ D 3 P ( 2 π ) 3 e ich P ⋅ X ϕ ( P , T )

Meine erste Frage bezieht sich vielleicht auf die Wahl der Notation oder einen Tippfehler. Sollten wir dieselbe Funktion verwenden, die für das Feld verwendet wird, um die Fourier-Transformation zu schreiben? Oder wir sollten setzen Φ ( P , T ) anstatt ϕ ( P , T ) ?

Wenn wir nun die Fourier-Transformation auf die KG-Gleichung anwenden, haben wir:

( ∂ 2 ∂ T 2 + P 2 + M 2 ) ϕ ( P , T ) = 0
Das ist die Gleichung eines Oszillators, der mit einer Frequenz schwingt ( P 2 + M 2 ) .

(Ich bin hier immer noch verwirrt, weil wir sagen müssen, dass die Fourier-Transformation des Feldes Φ ( P , T ) ist ein Oszillator).

Meine zweite Frage ist, warum wir verwenden P hier könnten wir es anders bezeichnen. Im Folgenden nennen wir es ein 3-Impuls. Auch das ist für mich verwirrend. Wir führen den konjugierten Impuls des Feldes durch ein π ( X ) . Aber ein 3-Impuls macht an dieser Stelle keinen Sinn, weil wir Teilchen noch nicht diskutiert haben und jede andere Bezeichnung verwenden können. Die Theorie braucht den Begriff der Teilchen einfach nicht. Ich sehe, dass wir später Erregungen des Feldes als Teilchen mit Energien bezeichnen ( P 2 + M 2 ) .

Wenn wir diesen Oszillator quantisieren wollen, erinnern wir uns an den quantenmechanischen Hamilton-Formalismus, dass die verallgemeinerten Koordinaten in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren angegeben werden können als:

Q = 1 2 ω ( A + A † )

Der Autor gibt nun die Feldgleichung als lineare Summe einer unendlichen Anzahl von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren an, die durch den 3-Impuls indiziert sind P :

ϕ ( X ) = ∫ D 3 P ( 2 π ) 3 1 2 ω P [ A P e ich P . X + A P † e − ich P . X ]

Meine dritte Frage ist, warum wir haben e − ich P . X . Sollte es nicht sein e ich P . X stattdessen.

Meine vierte und fünfte Frage. Ist es nicht wahr, dass wir nur ersetzen müssen Φ mit Q in der zweiten Gleichung oben? Und wo ist T ?

Antworten (1)

Meine erste Frage bezieht sich vielleicht auf die Wahl der Notation oder einen Tippfehler. Sollten wir dieselbe Funktion verwenden, die für das Feld verwendet wird, um die Fourier-Transformation zu schreiben? Oder sollten wir Φ(p,t) anstelle von ϕ(p,t) setzen?

Dies ist eine schreckliche Physikerkonvention. Die funktionellen Formen der beiden „Phis“ sind eindeutig unterschiedlich, aber das verwendete Symbol ist dasselbe. Das ist wirklich ein schrecklicher Schreibfehler, es beruht auf der Konvention, dass wir „wissen“, dass „p“ ein Buchstabe ist, der üblicherweise für Momente verwendet wird, und „x“ ein Buchstabe ist, der herkömmlicherweise für Position verwendet wird. In Wahrheit schreibt man besser (man beachte die Tilde über dem zweiten Phi):

ϕ ( X , T ) = ∫ D 3 P ( 2 π ) 3 e ich P . X ϕ ~ ( P , T )
und tatsächlich werden Sie diese Notation manchmal sehen.

Meine zweite Frage ist, warum wir hier p verwenden, wir könnten es auch anders bezeichnen. Im Folgenden nennen wir es ein 3-Impuls.

Dies geschieht in Erwartung seiner späteren Interpretation als Momentum. Es gibt keinen Grund, warum diese Interpretation klar sein sollte, bis Sie die Implikationen der Gleichung weiter studiert haben.

Meine dritte Frage ist, warum wir haben e − ich P . X . Sollte es nicht sein e ich P . X stattdessen.

Seit ω hängt nur von der Größe des Impulses ab, von dem aus Sie Variablen ändern können P → Zu − P → falls Sie es wollen. Dies wird nur Ihre Definition von ändern A P → † . Dies ist die herkömmliche Definition.

[ Meine vierte und fünfte Frage ...] Ist es nicht wahr, dass wir nur ersetzen müssen Φ mit Q in der zweiten Gleichung oben? Und wo ist T ?

Sie müssen die Idee von "q" auf eine impulsabhängige Größe erweitern. Und wie oben diskutiert, gibt es einen herkömmlichen Weg, dies zu tun.

Die Variable t erscheint nicht in der von Ihnen angegebenen Gleichung, da Sie an diesem Punkt nur eine Fourier-Transformation in Bezug auf die Position durchführen. Um zu antizipieren/zu verstehen, was vor sich geht, denken Sie an die Operatoren im Bild von Schrödinger. Sie haben keine explizite Zeitabhängigkeit. Die Zeitabhängigkeit wird später eintreten, wenn Sie sich zum Heisenburg-Bild bewegen und Ihre Operatoren dazwischen schieben e − H ^ T Und e ich H ^ T .

Gern geschehen. Viel Glück!
Eine verwandte neue Frage: Ist dieser Oszillator, der mit einer Frequenz schwingt, die ein impulsabhängiges Phi ist, dieselbe Idee hinter dem Begriff der Quantenfluktuationen, oder hat das überhaupt nichts mit dieser Schwingung zu tun?
Wenn Sie eine neue Frage haben, verfeinern Sie sie und posten Sie sie als eigentliche Frage. Wir können keine ausführliche Diskussion in den Kommentaren führen.
@VictorVMotti - In Bezug auf Ihre zweite Frage können Sie sich vorstellen P der Impuls eines der Fourier-Modus sein ϕ ~ ( P , T ) . Fourier-Modi sind bereits vorhanden, bevor Sie quantisieren.
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