Finden der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Question

Finden der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Phibert

Unter Verwendung der Minkowski-Signatur $(+,-,-,-)$ , für die Lagrange-Dichte

L = \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ^{†} - M^{2} ϕ ϕ^{†}

${\cal L}=\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi^{\dagger}-m^2\phi \phi^{\dagger}$

des komplexen Skalarfeldes haben wir das Feld

ϕ (X) = \int \frac{D^{3} \vec{P}}{2 (2 π)^{3} ω_{\vec{P}}} (A (\vec{P}) e^{- ich P X} + B^{†} (\vec{P}) e^{+ ich P X}) .

$\phi(x)=\int{\frac{d^3 \vec{p}}{2(2\pi)^3\omega_\vec{p}}}(a(\vec{p})e^{-ipx}+b^{\dagger}(\vec{p})e^{+ipx}).$

Ich versuche jetzt, eine Gleichung für die zu finden $a(\vec{p})$ Und $b(\vec{p})$ (mit dem Endziel, einen Ausdruck für zu finden $[a(\vec{p}),b^{\dagger}(\vec{q})]$ verwenden $[\phi(x),\Pi(y)]$ ).

Was ich anmerken sollte, ist, dass wir all dies im Schrödinger-Bild (t = 0) betrachten, also nehme ich an, dass das allererste, was zu tun ist, alles zu ändern $x$ ist zu $\vec{x}$ Rechts?

Die Strategie, mit deren Umsetzung ich zu kämpfen habe und die an vielen Stellen auf dem Weg fehlschlägt:

Finde den Schwung $\Pi^{\phi}(x)=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=\dot{\phi^{\dagger}}$ .
Fügen Sie eine Kombination von hinzu $\phi(x)$ Und $\Pi(x)$ um einen der Erstellungs-/Vernichtungsoperatoren loszuwerden.
Führen Sie eine inverse Fourier-Transformation durch, um zu finden $a(\vec{p})$ bezüglich $\phi(x)$ , Zum Beispiel.

Keines der großen Lehrbücher scheint dies wirklich durchzusetzen und schreibt stattdessen so etwas wie "und es ist leicht zu zeigen ...". Ich finde es jedoch nicht zu einfach, insbesondere Teil 3, da ich kein Experte für Fourier-Transformationen bin.

Könnte mich jemand irgendwo anleiten, wo das obige explizit berechnet wird (in mehr als 2/3 Zeilen), oder mir helfen, jeden der 3 obigen Schritte zu verstehen?

(Mir ist klar, dass es einfach ist, eine Referenz zu finden, wo dies für das reale Skalarfeld getan wird, in diesem Fall haben wir $a(\vec{p})$ Und $a^{\dagger}(\vec{p})$ . Trotzdem fällt es mir schwer, Teilen zu folgen.)

Andreas

Das scheint mir also eine sehr weit gefasste Frage zu sein, es könnte nützlich sein, sie in kleinere Teile zu zerlegen. Was haben Sie zum Beispiel für Teil 1 (Berechnung des Impulses)? Sie sollten feststellen, dass der Impuls zu konjugiert ist

ϕ^{†}

$\phi^\dagger$ Ist

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ und dass der Impuls konjugiert zu

ϕ

$\phi$ Ist

{\dot{ϕ}}^{†}

$\dot{\phi}^\dagger$ , findest du das?

Phibert

Ja, aber das können Sie leicht erkennen, wenn Sie sich nur den Lagrange ansehen. Vielleicht füge ich es dann hinzu

Andreas

Gut :) Ich versuche nur herauszufinden, wo genau du feststeckst. OK, Sie können also in Schwung kommen, und das wissen Sie

[ϕ, Π] = i δ

$[\phi,\Pi] = i \delta$ auf gleiche Zeitscheiben. Kannst du ausdrücken

Π

$\Pi$ als Moduserweiterung von

a, b

$a,b$ und ihre Dolche? Wenn ja was bekommt man wenn man die Moduserweiterungen einsteckt

ϕ

$\phi$ Und

Π

$\Pi$ hinein

[ϕ, Π] = i δ

$[\phi,\Pi]=i\delta$ ? Auch hier ist es hilfreich, eine Antwort zu geben, um eine klarere Vorstellung davon zu haben, was Sie genau versucht haben und wo die Dinge nicht funktionieren.

Antworten (1)

Finden der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Das scheint mir also eine sehr weit gefasste Frage zu sein, es könnte nützlich sein, sie in kleinere Teile zu zerlegen. Was haben Sie zum Beispiel für Teil 1 (Berechnung des Impulses)? Sie sollten feststellen, dass der Impuls zu konjugiert ist $\phi^\dagger$ Ist $\dot{\phi}$ und dass der Impuls konjugiert zu $\phi$ Ist $\dot{\phi}^\dagger$ , findest du das?
Ja, aber das können Sie leicht erkennen, wenn Sie sich nur den Lagrange ansehen. Vielleicht füge ich es dann hinzu
Gut :) Ich versuche nur herauszufinden, wo genau du feststeckst. OK, Sie können also in Schwung kommen, und das wissen Sie $[\phi,\Pi] = i \delta$ auf gleiche Zeitscheiben. Kannst du ausdrücken $\Pi$ als Moduserweiterung von $a,b$ und ihre Dolche? Wenn ja was bekommt man wenn man die Moduserweiterungen einsteckt $\phi$ Und $\Pi$ hinein $[\phi,\Pi]=i\delta$ ? Auch hier ist es hilfreich, eine Antwort zu geben, um eine klarere Vorstellung davon zu haben, was Sie genau versucht haben und wo die Dinge nicht funktionieren.

Prahar · Answer 1

Die Felder erfüllen die Wellengleichung. Wir können also schreiben

\begin{aligned} ϕ (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 ω_{P}} [A (P) e^{ich P \cdot X} + B^{†} (P) e^{- ich P \cdot X}] \\ ϕ^{†} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 ω_{P}} [B (P) e^{ich P \cdot X} + A^{†} (P) e^{- ich P \cdot X}] \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \phi(x) = \int \frac{ d^3 p}{ (2\pi)^3} \frac{1}{2 \omega_{\bf p} } \left[ a({\bf p}) e^{i p \cdot x} + b^\dagger({\bf p} ) e^{- i p \cdot x} \right] \\ \phi^\dagger (x) = \int \frac{ d^3 p}{ (2\pi)^3} \frac{1}{2 \omega_{\bf p} } \left[ b({\bf p}) e^{i p \cdot x} + a^\dagger({\bf p} ) e^{- i p \cdot x} \right] \\ \end{split} \end{equation}$ Wo

ω_{p} = \sqrt{p^{2} + m^{2}}

$\omega_{\bf p} = \sqrt{ {\bf p}^2 + m^2 }$ . Wenn wir dies umkehren, finden wir (VERIFY THIS)

\begin{aligned} A^{†} (P) & = - ich \int D^{3} X e^{ich P \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ϕ^{†} (X) \\ B^{†} (P) & = - ich \int D^{3} X e^{ich P \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ϕ (X) \\ A (P) & = ich \int D^{3} X e^{- ich P \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ϕ (X) \\ B (P) & = ich \int D^{3} X e^{- ich P \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ϕ^{†} (X) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} a^\dagger ( {\bf p} ) &= - i \int d^3 x e^{i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi^\dagger(x) \\ b^\dagger ( {\bf p} ) &= - i \int d^3 x e^{i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi(x) \\ a ( {\bf p} ) &= i \int d^3 x e^{-i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi(x) \\ b ( {\bf p} ) &= i \int d^3 x e^{-i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi^\dagger(x) \\ \end{split} \end{equation}$ Wo

A \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} B = A \partial_{0} B - (\partial_{0} A) B

$A \overleftrightarrow{\partial_0} B = A \partial_0 B - (\partial_0 A ) B$ .

Die konjugierten Impulse können aus der Lagrange-Funktion als bestimmt werden

π = \partial_{0} ϕ^{†}, π^{†} = \partial_{0} ϕ

$\pi = \partial_0 \phi^\dagger,~~ \pi^\dagger = \partial_0 \phi$ Die Vertauschungsbeziehungen in Bezug auf die Felder sind

[ϕ (T, X), π (T, j)] = ich δ^{3} (X - j)

$[ \phi(t, {\bf x}), \pi(t, {\bf y}) ] = i \delta^3 ( {\bf x} - {\bf y} )$ Mit diesen Informationen sollten Sie in der Lage sein, die Klammern der Modenkoeffizienten zu berechnen.

PS - Ich sollte hinzufügen, dass ich die verwende $(-+++)$ Signatur für die Metrik.

Gute Antwort; höchstwahrscheinlich benötigt das OP auch die bekannte Identität: $δ^{N} (k) = \int \frac{D^{N} X}{(2 π)^{N}} e^{ich k \cdot X}$ $\begin{equation} \delta^n(k) = \int \frac{\mathrm{d}^n x }{(2 \pi)^n} \; e^{i k \cdot x} \end{equation}$
Der konzeptionell einfache, aber „algebraisch schwierige“ Weg, den ich in meiner QFT-Klasse gemacht habe, bestand darin, einfach die Fourier-Erweiterung des Feldes in die Kommutierungsbeziehung einzufügen. Wenn Sie alle Feld-/Impuls-Kommutationsbeziehungen verwenden, erhalten Sie die richtige Beziehung zwischen allen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren, ohne dass eine Invertierung erforderlich ist.
@Danu Damit habe ich ursprünglich angefangen. Anderthalb Seiten später wurde mir klar, dass ich gerade einige Kommutierungsbeziehungen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gleich bekommen würde $i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})$ ?
@ Prahar Gute Antwort. Wo Sie jedoch "überprüfen" sagen, war dies das Hauptproblem, das ich hatte. Woher hast du diese vier Gleichungen? Haben Sie in meiner Frage die Methode verwendet, die ich als Nummer 2) vorgeschlagen habe? Gibt es eine allgemeine Formel zum Investieren einer Fourier-Transformation?
@ user13223423 Ich weiß, dass dies das Hauptproblem war, das Sie hatten, und ich habe Ihnen eine explizite Formel gegeben. Alles, was Sie tun müssen, ist, die verschiedenen Erweiterungen einzustecken und diese abzuleiten. Ich habe im Wesentlichen Schritt 3 verwendet. Allgemeiner habe ich eine allgemeinere Technik verwendet, um Erzeugungs-Vernichtungs-Operatoren in Bezug auf ein inneres Produkt auf dem klassischen Feldraum zu definieren.
Man betrachtet zunächst den klassischen Lösungsraum der Wellengleichung und definiert auf diesem Raum ein Skalarprodukt $(\phi_1, \phi_2) = \int d^3 x \phi_1 {\overleftrightarrow \partial_0} \phi_2$ . Es kann gezeigt werden, dass es sich um ein konserviertes inneres Produkt handelt. Man wählt dann eine orthonormale Basis auf diesem Raum $\phi_k$ befriedigend $(\phi_k \phi_{k'} ) = \delta_{k, k'}$ . Diese Basis wird dann in positive Frequenz zerlegt. und negative Frequenzmodi $\phi_k^\pm$ . Diese Unterscheidung (und die Basis) ist im Allgemeinen nicht eindeutig und hängt von den Koordinaten und der Raumzeit ab.
Beispielsweise ist es im Fall des Minkowski-Raums Standard zu wählen $\phi_k^\pm = e^{ \mp i k \cdot x }$ . Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren werden dann definiert als $a^\dagger_k = (\phi^+_k, \phi)$ Und $a_k = (\phi_k^-, \phi)$ . Wenn man all dies explizit ausarbeitet, erhält man die Formel, die ich beschrieben habe.
@ user13223423 das bedeutet nur, dass Sie irgendwo einen Fehler gemacht haben. Die Faktoren von $i$ abbrechen sollte (weil $\pi=\partial_0\phi^\dagger$ )
@ Danu Ich werde das gleich durcharbeiten und hoffentlich zur richtigen Antwort kommen. Aber ich mache mir nur Sorgen, dass mein Endergebnis eine Gleichung mit zwei Unbekannten sein wird - $a$ Und $b$ . NEIN?
@ user13223423 Sie benötigen alle vier Kommutierungsbeziehungen zwischen Impulsen und Feldern.
Wenn ich diesen Ansatz verwende, erhalte ich bei der Berechnung der Kommutierungsbeziehung das folgende Ergebnis: $[a^{\dagger}(q),a(p)] = 2 \omega_p \delta^3(\vec{p}-\vec{q})$ . Wenn ich jedoch auf David Tongs Anmerkungen zu QFT verweise, hat der CCR für die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren in Gleichung 2.20 keine $\omega$ Faktor. Könnte jemand erklären, ob ich einen Fehler mache oder was die Ursache dieser Verwirrung ist?
@newtothis - der Faktor von $2\omega_p$ ist eine Sache der Konvention. Einige Autoren (wie Weinberg und Tong) machen gerne die Felderweiterung mit $\frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\bf p}}}$ statt was ich habe. Ich mag diese Konvention (von Srednicki verwendet), weil damals $a({\bf p})$ transformiert sich gut unter Lorentz-Transformationen, während in Weinbergs Konventionen in allen Formeln Quadratwurzeln enthalten sind. Das größere Problem mit Ihrer Formel ist jedoch das Vorzeichen. Es sollte sein $-2 \omega_{\bf p}$ . Das Zeichen ist physikalisch wichtig, der Gesamtfaktor ist eine Konvention.
@Prahar in Ordnung, ich werde meine Berechnung noch einmal überprüfen. Wenn ich das Feld so definieren würde, wie Sie es getan haben, aber mit $\sqrt{2\omega_p}$ ersetzen $2\omega_p$ , ich würde den zusätzlichen Faktor nicht in das Endergebnis bringen, oder?
Ja! Sie können dies leicht erkennen, indem Sie einfach neu skalieren $a({\bf p}) \to \sqrt{2\omega_{\bf p}} a({\bf p})$ . Beachten Sie, dass Ihnen auch ein Faktor von fehlt $(2\pi)^3$ irgendwo (und das vorher erwähnte Zeichen, das viel wichtiger ist!)

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