Ursprung der kanonischen zeitgleichen Kommutierungsbeziehungen

Mit einigen technischen Annahmen ergibt sich CCR tatsächlich aus der Forderung nach Kompatibilität des Lagrange/Hamiltonschen Formalismus und der Standardformulierung der Quantentheorie. Ich werde im Folgenden nicht ganz streng sein und nur den Weg angeben, der zu befolgen ist, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.

Betrachten Sie den Hamiltonian der Theorie, heißt es

$$H(t_0) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^3, t=t_0} \Pi_\mu \Pi^\mu + \vec{\nabla} A_\mu \cdot \vec{\nabla} A_\mu d^3x\tag{1}$$ Von der Heisenberg Evolution der Operatoren sind wir verpflichtet, davon auszugehen $$\partial_t A_\mu(t,x) = i[H(t), A_\mu(t,x)]\tag{2}\:.$$ Auf der anderen Seite haben wir aus Hamilton-Gleichungen oder direkt die Definition des konjugierten Impulses in der Lagrange-Formulierung $$\Pi_\mu(t,x) = \partial_t A_\mu(t,x)\tag{3}\:.$$ Wenn man also (1) und (2) zusammensetzt, muss es so sein $$\int [\Pi_\mu(t,x) \Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x+ \int [\vec{\nabla} A_\mu(t,x) \cdot \vec{\nabla} A_\mu(t,x), A^\nu(t,y)] d^3x = -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ Wenn wir jetzt davon ausgehen

H1 . Messungen an unterschiedlichen Positionen zur gleichen festen Zeit von in der Regel unterschiedlichen Komponenten aus$A_\mu$sind im Quantensinn kompatibel ,

dh,$[A_\mu(t,x), A^\nu(t,y)]=0$,

bleibt

$$\int [\Pi_\mu(t,x) \Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x= -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ das ist $$\int \Pi_\mu(t,x)\:[\Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x + \int [\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]\: \Pi^\mu(t,x) d^3x= -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ Wenn wir das jetzt weiter annehmen

H2 .$[\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]$ist eine Zahl$[\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]= c(t,x,y)I$damit es mit Operatoren pendelt,

wir haben

$$\int \Pi_\mu(t,x)c(t,x,y) d^3x = -i\partial_t A^\nu(t,y)\:.$$ Von (3) $$\int \Pi_\mu(t,x)c(t,x,y) d^3x = -i\Pi_\nu(t,y)\:.$$ Das heisst $$\int \Pi_\mu(t,x)\left(c(t,x,y) + i\delta(x,y) \delta^\mu_\nu \right)d^3x =0\:.\tag{5}$$ Diese Identität muss innerhalb des Fixed-Time-Smearing-Verfahrens interpretiert werden (auch die vorherigen Zeilen sollten so interpretiert werden, aber hier mache ich den Formalismus explizit, da eine entscheidende weitere Hypothese benötigt wird, die mit diesem Formalismus formuliert wird): Die Operatoren $A(t,x)$Und $\Pi(t,x)$müssen mit glatten, kompakt unterstützten Funktionen geschmiert werden $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$was zu den verschmierten Feldoperatoren führt , denjenigen mit mathematischem Sinn. $$A(t,f) := \int A(t,x) f(x) d^3x\:,\quad \Pi(t,f) := \int \Pi(t,x) f(x) d^3x$$ Zum Beispiel $$[A(t,x), \Pi(t,y)] = i \delta(x-y)I$$ ist als kurze Schreibweise zu interpretieren $$[A(t,f), \Pi(t,g)] = i \int f(x)g(x) d^3x \:I$$ Dieser Weg (5) bedeutet eigentlich, dass für jede reibungslose kompakt unterstützte Funktion $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, $$\int d^3y \int \Pi_\mu(t,x)\left(c(t,x,y)f(y) + i\delta(x,y) f(y)\delta^\mu_\nu \right)d^3x =0$$ Mit anderen Worten $$\Pi_\mu\left(t, \int c(t,\cdot,y)f(y) d^3y +i \delta^\mu_\nu f\right) =0\tag{6}$$ Die letzte Hypothese, die ich fordere, ist die

H3 . Der Betreiber schätzte die Verteilung$f \mapsto \Pi_\mu(t,f)$verschwindet genau dann wenn$f=0$.

Davon ausgehend impliziert (6).

$$\int c(t,x,y)f(y) d^3y +i \delta^\mu_\nu f(x) =0$$ für jede genannte Funktion $f$, was bedeutet $$c(t,x,y) = -i\delta^\mu_\nu \delta(x-y)\:,$$ wie gewünscht.