Herleitung von (2.45) in Peskin und Schroeder

Dies ist wirklich einfach, sobald Sie sich an die Notation gewöhnt haben. (Hasst du es nicht, wenn Leute das sagen?)

$$[\pi (\vec{x},t), (-\nabla^{2} +m^{2})\phi (\vec{y},t)] ,$$

Hier müssen Sie sich das merken$\nabla^2$wirkt auf die$\phi(\vec{y},t)$nur so$\pi$kann direkt durch diesen Wellenoperator gehen. Wenn Sie jetzt den Kommutator auswerten, erhalten Sie so etwas wie$\phi (\vec{y},t)(-\nabla^{2} +m^{2})\delta^{(3)}(\vec x-\vec y)$, danach verwenden Sie "Self-Adjointness" von$\nabla^2$(wirklich, partielle Integration), um den Wellenoperator auf den ersten wirken zu lassen$\phi$. Möglicherweise müssen Sie Variablen danach neu beschriften.

$$i {{\partial}\over{\partial t}}\pi=[\pi,\int d^3x\tfrac{1}{2}\pi^2+\tfrac{1}{2}\phi()\phi]$$ $$=[\pi,\int d^3x\tfrac{1}{2}\phi()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\phi[\pi,()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\phi[\pi,()]\phi+\phi()[\pi,\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\phi\pi()\phi-\phi()\pi\phi+\phi()\pi\phi-\phi()\phi\pi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\phi\pi()\phi-\phi()\phi\pi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\pi\phi()\phi-\phi\pi()\phi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+[\pi,\phi]()\phi$$ $$=\int d^3x[\pi,\phi]()\phi$$ $$=\int d^3x-[\phi,\pi]()\phi$$ $$=\int d^3x-i\delta()\phi$$ $$=-i()\phi$$ Beim mittleren Teil bin ich mir nicht sicher, aber ich habe ein paar Eigenschaften verwendet: (2.44), (2.20), (2.30) und natürlich die Kommutatoridentität. Aber ich glaube nicht, dass das der richtige Weg ist, dies zu beweisen. (Ich kämpfe auch)