Spin-Operator: Kniffliger Beweis mit Gamma-Matrizen

Question

Spin-Operator: Kniffliger Beweis mit Gamma-Matrizen

SuperCiocia

Ich habe mich mit den Gamma-Matrizen nicht ausführlich befasst, daher habe ich hier ein bisschen Probleme.

Grundsätzlich möchte ich zeigen, dass der Spin-Operator definiert ist durch

\hat{S} = \frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ

$\mathbf{\hat{S}} = \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}$

erfüllt die Vertauschungsrelation $[H,\mathbf{S}] = \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \times \nabla$ mit dem Hamiltonoperator:

H = γ^{0} (- ich γ \cdot \nabla + M) .

$H = \gamma^0(-i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m) .$

Meine bisherige Arbeit:

[H, S] ψ = H S ψ - S H ψ = γ^{0} (- ich γ \cdot \nabla + M) * \frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ - \frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ * γ^{0} (- ich γ \cdot \nabla + M) ψ = - ich γ^{0} γ \cdot \nabla (\frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ) + \frac{M}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ + \frac{ich}{2} γ^{5} γ^{0} γ γ^{0} γ \cdot \nabla ψ - \frac{M}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ = - ich γ^{0} γ \cdot \nabla (\frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ) + \frac{ich}{2} γ^{5} γ^{0} γ γ^{0} γ \cdot \nabla ψ

$[H,\mathbf{S} ]\color{blue}{\psi} = \\ H\mathbf{S}\color{blue}{\psi} - \mathbf{S} H\color{blue}{\psi} = \\ \gamma^0(-i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m)*\frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} - \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}* \gamma^0(-i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m)\color{blue}{\psi} = \\ -i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot {\nabla \left ( \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} \right )} + {\frac{m}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}}\color{blue}{\psi} + \frac{i}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\color{blue}{\psi} - \frac{m}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} = \\ -i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot {\nabla \left ( \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} \right )} + \frac{i}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\color{blue}{\psi}$

Umstellung auf Indexnotation jetzt $[H, S^i]$ :

\frac{- ich}{2} γ^{0} γ^{5} γ^{0} γ^{ich} γ^{k} \partial^{k} + \frac{ich}{2} γ^{5} γ^{0} γ^{ich} γ^{0} γ^{J} \partial^{J},

$\frac{-i}{2}\gamma^0 \gamma^5\gamma^0 \gamma^i \gamma^k\partial^k + \frac{i}{2}\gamma^5\gamma^0\gamma^i\gamma^0 \gamma^j\partial^j,$ neu ordnen:

- ich γ^{5} γ^{ich} γ^{J} \partial^{J}

$-i\gamma^5\gamma^i\gamma^j\partial^j$

Jetzt ist die Antwort $\gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \times\nabla$ , und um die zu bekommen $\times$ dort brauche ich ein Levi-Civita-Symbol. Was ich denke, kommt von der Definition von

γ^{5} = \frac{ich}{4!} ϵ_{μ v a β} γ^{μ} γ^{v} γ^{a} γ^{β},

$\gamma^5 = \frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta},$ von denen ich hätte

[H, S^{ich}] = \frac{1}{4!} ϵ_{μ v a β} γ^{μ} γ^{v} γ^{a} γ^{β} γ^{ich} γ^{J} \partial^{J}

$[H, S^i] = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta} \gamma^i \gamma^j \partial^j$ wo die griechischen Buchstaben herkommen

0

$0$ Zu

4

$4$ wohingegen die lateinischen nur von

1

$1$ Zu

3

$3$ .

Wie gehe ich vor?

SuperCiocia

Wie kommt es auch, dass ich \cancel nicht verwenden kann, um einen schrägen Durchstrich zu zeichnen?

2^{n d}

$2^{nd}$ Und

4^{t h}

$4^{th}$ Begriffe in der zweiten Zeile?

PhotonBoom

Haben Sie es mit Komponenten von versucht

S

$\mathbf{S}$ , dh

S^{i}

$S^i$ anstelle des Vektors

S

$\mathbf{S}$ ? Es wäre wahrscheinlich einfacher, und es kann sehr leicht verallgemeinert werden.

SuperCiocia

Habe ich das nicht im letzten Schritt gemacht?

Antworten (1)

Spin-Operator: Kniffliger Beweis mit Gamma-Matrizen

Wie kommt es auch, dass ich \cancel nicht verwenden kann, um einen schrägen Durchstrich zu zeichnen? $2^{nd}$ Und $4^{th}$ Begriffe in der zweiten Zeile?
Haben Sie es mit Komponenten von versucht $\mathbf{S}$ , dh $S^i$ anstelle des Vektors $\mathbf{S}$ ? Es wäre wahrscheinlich einfacher, und es kann sehr leicht verallgemeinert werden.

Ali Moh · Answer 1

\begin{aligned} - ich γ^{5} γ^{ich} γ^{J} \partial_{J} & = γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3} γ^{ich} γ^{J} \partial_{J} \\ = \frac{1}{3!} γ^{0} ϵ_{k l M} γ^{k} γ^{l} γ^{M} γ^{ich} γ^{J} \partial_{J} \\ = \frac{1}{2} γ^{0} ϵ_{k l ich} γ^{k} γ^{l} γ^{J} \partial_{J} \\ = γ^{0} ϵ_{k J ich} γ^{k} \partial_{J} \\ = γ^{0} \vec{γ} \times \vec{\nabla} \end{aligned}

$\begin{align*} -i\gamma^5 \gamma^i \gamma^j \partial_j &= \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 \gamma^i \gamma^j \partial_j \\ &= \tfrac{1}{3!}\gamma^0 \epsilon_{klm}\gamma^k\gamma^l\gamma^m\gamma^i\gamma^j\partial_j\\ &= \tfrac{1}{2}\gamma^0 \epsilon_{kli}\gamma^k\gamma^l\gamma^j\partial_j\\ &= \gamma^0 \epsilon_{kji}\gamma^k\partial_j\\ &=\gamma^0 \vec{\gamma}\times\vec{\nabla} \end{align*}$ Es gibt zwei Schritte, die einer Begründung bedürfen, aber das bleibt Ihnen überlassen.

OK danke. Ich habe versucht, es durchzuarbeiten, aber offensichtlich fehlt mir ein Trick oder eine Schlüsselidentität. Ich folge dem Schritt zwischen der ersten und der zweiten Zeile. Aber zwischen dem zweiten und dem dritten, wie wird man das los $\gamma^m \gamma^i$ ? Ich habe versucht, es so zu schreiben $-\gamma^i \gamma^m + 2g^{im}$ aber ich bekomme nicht die gleiche antwort..
EIGENTLICH tut mir leid, nein, ich folge nicht. Können Sie das bitte näher erläutern?

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SuperCiocia

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PhotonBoom

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Ali Moh

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