Beweisen Sie [a†k,a†q]=0[ak†,aq†]=0[a_k^\dagger, a_q^\dagger]=0

Ich versuche, die Vertauschungsbeziehungen zwischen den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Feldtheorie zu beweisen. Das konnte ich schon zeigen [ A k , A Q † ] = ich δ ( k − Q ) . Das möchte ich zeigen [ A k † , A Q † ] = 0 , aber ich stecke beim letzten Schritt fest. Ich denke, meine Verwirrung hat mit der Interpretation der Delta-Funktion zu tun, und ich hatte gehofft, dass mir jemand helfen kann. Bisher habe ich das gezeigt

A k † = ∫ D 3 X e − ich k X [ E k 2 ϕ ( X ) − ich 1 2 E k π ( X ) ] ,

Wo ϕ ( X ) Und π ( X ) sind das Feld bzw. der konjugierte Impuls. Anhand dessen konnte ich das zeigen

[ A k † , A Q † ] = ∫ D 3 j D 3 X e − ich ( k X + Q j ) [ − ich E k E Q [ ϕ ( X ) , π ( j ) ] + ich E Q E k [ ϕ ( j ) , π ( X ) ] ] .

Verwendung der Kommutierungsrelation [ ϕ ( X ) , π ( j ) ] = ich δ 3 ( X − j ) das wird

[ A k † , A Q † ] = ∫ D 3 j e − ich ( k + Q ) j [ E k E Q − E Q E k ] .

Und ich glaube, das Integral über y gibt uns eine Delta-Funktion. Wenn ich alles richtig gemacht habe, dann sollte das so sein

[ A k † , A Q † ] = δ 3 ( k + Q ) [ E k E Q − E Q E k ] .

Da ich die Kommutierungsbeziehungen bereits kenne, weiß ich, dass der letzte Ausdruck für jeden beliebigen Wert von gleich Null sein sollte k Und Q . Aber mein letzter Ausdruck sagt das nicht wirklich aus k = − Q . Woher diese Diskrepanz kommt, verstehe ich allerdings nicht so ganz. Gibt es eine Möglichkeit, diese Delta-Funktion zu interpretieren (dh is ∞ ⋅ 0 = 0 ?), die ich nicht verstehe oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht?

Was passiert wann mit dem Ausdruck in der Klammer? k = − Q ...?
Ich denke, das ist es, was ich schwer interpretieren kann. Sie erhalten ∞⋅0, was meiner Meinung nach gleich Null ist, aber ich bin mir nicht sicher, warum. Ich habe die Frage bearbeitet, um zu verdeutlichen, was ich frage.
Merken Sie sich ∫ δ ( X − A ) F ( X ) = F ( A ) . Um irgendetwas Physikalisches zu berechnen, integrieren Sie über diese Delta-Funktion, und das Ergebnis ist Null.
Eine andere Möglichkeit, es zu sehen, besteht darin, sich daran zu erinnern X δ ( X ) = 0 (da dies bei Anwendung auf eine beliebige Testfunktion immer Null ergibt).

Antworten (1)

Sie können sich den kontinuierlichen Formalismus als Grenzfall des diskreten Impulsformalismus vorstellen: Wenn der Impuls als diskrete Variable angenommen wird (was darauf hinausläuft, die Teilchen auf ein endliches Volumen zu beschränken v ) ist die Fourier-Entwicklung des (reellen, skalaren) Feldes:

(1) φ ( X ) = ∑ k 1 2 v ω k ( A k e − ich k X + A k † e ich k X )
Daraus können Sie das (ähnlich wie oben) überprüfen
(2) [ A k , A Q † ] = δ k , Q , [ A k , A Q ] = 0 = [ A k † , A Q † ] .
Diesmal ohne die Probleme, die sich aus der Handhabung der kontinuierlichen Dirac-Delta-Funktionen ergeben.

Beweisen Sie [a†k,a†q]=0[ak†,aq†]=0[a_k^\dagger, a_q^\dagger]=0
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v