Heisenbergs Bild über komplexe Feldoperatoren

Ich habe David Tongs Vorlesungsnotizen über QFT gelesen, und speziell über Vorlesung 2 schreibt er (Abschnitt 2.6, Gl. 2.8.3)

e ich H ^ T A ^ P → e − ich H ^ T = e − ich E P → T A ^ P →

gegeben die üblichen Kommutierungsbeziehungen unter Berücksichtigung der Absenk- und Anhebeoperatoren A ^ P → , A ^ P → † , welche sind

[ H ^ , A ^ P → ] = − E P → A ^ P → , [ H ^ , A ^ P → † ] = E P → A ^ P → † .

Was ich versuchte zu tun und hängen blieb, ist

e ich H ^ T A ^ P → e − ich H ^ T = ( e − ich E P → T A ^ P → + A ^ P → e ich H ^ T ) e − ich H ^ T = e − ich E P → T A ^ P → e − ich H ^ T + A ^ P → .

Wie geht es weiter?

Antworten (2)

Tipp : Definiere

A P ( T ) := e ich H T A P e − ich H T
und das zeigen

D A P ( T ) D T = ich [ H , A P ( T ) ] = − ich E P A P ( T ) ,

mit A P ( 0 ) = A P . Die Lösung dieses Anfangswertproblems liefert das gewünschte Ergebnis.

Es wird wahrscheinlich erwartet, dass Sie Campbell-Baker-Hausdorf verwenden:

e A B e − A = B + [ A , B ] + 1 2 [ A , [ A , B ] ] + 1 3 ! [ A [ A , [ A , B ] ] ] + …

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