Wie viele Teilchen sind in ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

Question

Wie viele Teilchen sind in ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

Jungfrau

In Schwartz' "QFT and the standard model" auf S. 22 schreibt er:

Ein Zwei- oder Null-Teilchen-Zustand wie in $\phi_0(x)^2\left|0\right>$ .

Ich frage mich, wie das bewiesen werden kann? Ich habe versucht zu überprüfen, ob $\phi_0(x)^2\left|0\right>$ war ein Eigenzustand des Zahlenoperators

N = \int \frac{D^{3} P A_{P}^{†} A_{P}}{(2 π)^{3}} .

$N=\int \frac{ d^3 p a_p{}^{\dagger } a_p }{(2 \pi )^3}.$

Aber gerade bekommen:

N ϕ_{0} (0)^{2} | 0 ⟩ = \int \frac{D^{3} k D^{3} Q}{(2 π)^{3} \sqrt{ω_{k} ω_{Q}}} 2 (A_{\overset{⇀}{k}}^{†} A_{\overset{⇀}{Q}}^{†}) | 0 ⟩,

$N \phi_0 (0)^2|0\rangle=\int \frac{d^3 kd^3 q}{(2 \pi )^3 \sqrt{\omega _k \omega _q}}2 \left(a_{\overset{\rightharpoonup }{k}}{}^{\dagger } a_{\overset{\rightharpoonup }{q}}{}^{\dagger }\right)|0\rangle,$

was ich nicht sehen kann, wie dies in Schwartz 'Aussage übersetzt wird.

Meng Cheng

Schematisch

ϕ (x) \sim a_{p} + a_{p}^{†}

$\phi(x)\sim a_p + a_p^\dagger$ (mit etwas

e^{i p x}

$e^{ipx}$ Faktoren, nicht wichtig für die Zählung). So

ϕ^{2} \sim a^{†} a^{†} + a^{†} a + a a^{†} + a a

$\phi^2\sim a^\dagger a^\dagger + a^\dagger a + aa^\dagger + aa$ . Seit

ϕ^{2}

$\phi^2$ wirkt auf

| 0 ⟩

$|0\rangle$ , können wir wegwerfen

a a

$aa$ Und

a^{†} a

$a^\dagger a$ (dh normale Bestellung), und wir bleiben übrig

a^{†} a^{†} + a a^{†}

$a^\dagger a^\dagger + aa^\dagger$ . Der erste Term erzeugt zwei Teilchen, der zweite Term ändert die Teilchenzahl nicht.

Antworten (1)

Wie viele Teilchen sind in ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

Schematisch $\phi(x)\sim a_p + a_p^\dagger$ (mit etwas $e^{ipx}$ Faktoren, nicht wichtig für die Zählung). So $\phi^2\sim a^\dagger a^\dagger + a^\dagger a + aa^\dagger + aa$ . Seit $\phi^2$ wirkt auf $|0\rangle$ , können wir wegwerfen $aa$ Und $a^\dagger a$ (dh normale Bestellung), und wir bleiben übrig $a^\dagger a^\dagger + aa^\dagger$ . Der erste Term erzeugt zwei Teilchen, der zweite Term ändert die Teilchenzahl nicht.

Bosonando · Answer 1

Der Feldoperator kann in zwei Teile geteilt werden, einen mit positiver Frequenz und einen mit negativer Frequenz

ϕ (X) = ϕ^{+} (X) + ϕ^{-} (X)

$\phi(x) = \phi^+(x) + \phi^-(x)$

ϕ^{+} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ω_{P}}} A_{P} e^{- ich P X} ϕ^{-} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ω_{P}}} A_{P}^{†} e^{ich P X}

$\phi^+(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx}\qquad \phi^-(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_p}} a_p^\dagger e^{ipx}$ Wie Sie sehen können, der positive Frequenzteil

ϕ^{+} (x)

$\phi^+(x)$ ist eine Linearkombination von Vernichtungsoperatoren

a_{p}

$a_p$ (es tötet also ein Teilchen) und den negativen Frequenzteil

ϕ^{-} (x)

$\phi^-(x)$ ist eine Kombination von Erstellungsoperatoren

a_{p}^{†}

$a_p^\dagger$ , also erzeugt es ein Teilchen.

\begin{aligned} N ϕ^{+} (X) | 0 ⟩ = 0 & N ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ = ϕ^{-} | 0 ⟩ \\ N ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ = 2 ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ & N ϕ^{+} (X) ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ = 0 \end{aligned}

$\begin{align}N\phi^+(x)|0\rangle = 0 &\qquad N \phi^-(x)|0\rangle = \phi^-|0\rangle \\ N\phi^-(x)^2|0\rangle = 2 \phi^-(x)^2|0\rangle &\qquad N\phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle=0\end{align}$

Ihr Zustand ist also

\begin{aligned} ϕ (X)^{2} | 0 ⟩ = & [ϕ^{+} (X) + ϕ^{-} (X)] [ϕ^{+} (X) + ϕ^{-} (X)] | 0 ⟩ \\ = & ϕ^{+} (X)^{2} | 0 ⟩ + ϕ^{+} (X) ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ + ϕ^{-} (X) ϕ^{+} (X) | 0 ⟩ + ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ \\ = & ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ + ϕ^{+} (X) ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\phi(x)^2|0\rangle =& [\phi^+(x) + \phi^-(x)][\phi^+(x) + \phi^-(x)]|0\rangle\\ =& \phi^+(x)^2|0\rangle + \phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle + \phi^-(x)\phi^+(x)|0\rangle + \phi^-(x)^2|0\rangle \\ =& \phi^-(x)^2|0\rangle + \phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle\end{align}$

Dies ist kein Eigenzustand des Zahlenoperators, da es sich um eine Überlagerung eines Zustands mit zwei Teilchen und eines Zustands mit null Teilchen handelt. Dies ist, was "oder" in Ihrem Schwartz-Zitat bedeutet

Ein Zwei- oder Null-Teilchen-Zustand wie in $\phi(x)^2|0\rangle$

Danke, das ist sehr hilfreich. Sollten + und - in dieser letzten Zeile vertauscht werden?
Nein. Seit $\phi^+(x)$ ist ein Vernichtungsoperator, $\phi^+(x)|0\rangle = 0$ , und deshalb $\phi^-(x)\phi^+(x)|0\rangle = 0$ . In der anderen Hand, $\phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle \neq 0$
Noch eine Frage: sollte nicht $N {ϕ^{+}}^{2} (X) | 0 ⟩ = 2 {ϕ^{+}}^{2} (X) | 0 ⟩$ $N{\phi^+}^2(x)|0\rangle = 2 {\phi^+}^2(x)|0\rangle$ Sei $N {ϕ^{-}}^{2} (X) | 0 ⟩ = 2 {ϕ^{-}}^{2} (X) | 0 ⟩$ $N{\phi^-}^2(x)|0\rangle = 2 {\phi^-}^2(x)|0\rangle$ ?

Wie viele Teilchen sind in ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

Jungfrau

Meng Cheng

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