Wie ist der Zustand |a0ai⟩|a0ai⟩|a_0 a_i\rangle physikalisch?

Question

Wie ist der Zustand |a0ai⟩|a0ai⟩|a_0 a_i\rangle physikalisch?

Gertian

Für einen Staat $|\psi\rangle$ um körperlich zu sein, benötigen wir Folgendes:

⟨ ψ | A_{0}^{†} A_{0} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A_{ich}^{†} A_{ich} | ψ ⟩

$\langle\psi|a_0^\dagger a_0|\psi\rangle = \langle\psi|a_i^\dagger a_i|\psi\rangle$

Es wird immer gesagt, dass der physikalische Zustand die gleiche Anzahl von Längs- und Zeitphotonen enthalten muss, also lassen Sie es uns versuchen $|\psi\rangle = a^\dagger_0 a^\dagger_i |0\rangle$ als Zustand, der körperlich sein soll. (ist es? Warum sollte es nicht sein?)

Die linke Seite wird:

⟨ 0 | A_{0} A_{ich} A_{0}^{†} A_{0} A_{0}^{†} A_{ich}^{†} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | A_{ich} A_{ich}^{†} A_{0} A_{0}^{†} A_{0} A_{0}^{†} | 0 ⟩

$\langle 0| a_0 a_i a^\dagger_0 a_0 a^\dagger_0 a^\dagger_i | 0\rangle = \langle 0|a_i a^\dagger_ia_0 a^\dagger_0 a_0 a^\dagger_0 | 0\rangle$

⟨ 0 | (1 + A_{ich}^{†} A_{ich}) (- 1 + A_{0}^{†} A_{0}) (- 1 + A_{0}^{†} A_{0}) | ⟩

$\langle 0|(1+a^\dagger_ia_i)(-1+a^\dagger_0a_0)(-1+a^\dagger_0a_0)|\rangle$

⟨ 0 | (1) (- 1 + A_{0}^{†} A_{0}) (- 1) | ⟩ = ⟨ 0 | (1) (- 1) (- 1) | ⟩ = 1

$\langle 0|(1)(-1+a^\dagger_0a_0)(-1)|\rangle = \langle 0|(1)(-1)(-1)|\rangle = 1$

Die rechte Seite wird zu:

⟨ 0 | A_{0} A_{ich} A_{ich}^{†} A_{ich} A_{0}^{†} A_{ich}^{†} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | A_{0} A_{0}^{†} A_{ich} A_{ich}^{†} A_{ich} A_{ich}^{†} | 0 ⟩

$\langle 0| a_0 a_i a^\dagger_i a_i a^\dagger_0 a^\dagger_i | 0\rangle = \langle 0|a_0 a^\dagger_0 a_i a^\dagger_i a_i a^\dagger_i | 0\rangle$

⟨ 0 | (- 1 + A_{0}^{†} A_{0}) (1 + A_{ich}^{†} A_{ich}) (1 + A_{ich}^{†} A_{ich}) | ⟩

$\langle 0|(-1+a^\dagger_0 a_0)(1+a^\dagger_ia_i)(1+a^\dagger_ia_i)|\rangle$

⟨ 0 | (- 1) (1 + A_{ich}^{†} A_{ich}) (1) | ⟩ = ⟨ 0 | (- 1) (1) (1) | ⟩ = - 1

$\langle 0|(-1)(1+a^\dagger_ia_i)(1)|\rangle = \langle 0|(-1)(1)(1)|\rangle = -1$

So dass $rhs \neq lhs$ und der Zustand scheint unphysisch zu sein.

Die Frage Eine der folgenden Aussagen muss wahr sein, aber ich kann nicht herausfinden, welche und warum. Es tut mir im Voraus leid, wenn dies trivial ist (sollte es sein), aber ich bin im Moment wirklich verwirrt:

Der Zustand, den ich getestet habe, ist tatsächlich unphysikalisch, aber warum sollte das so sein? Es enthält eine gleiche Anzahl von Longitudinal- und Zeitphotonen, also sollte es physikalisch sein.
Ich habe einen Zeichen- oder konzeptionellen Fehler in meiner Berechnung gemacht, den ich nicht entdecke.

Phönix87

Für jeden Vektor

ψ

$\psi$ , Die Quantität

(ψ, b^{*} b ψ)

$(\psi,b^*b\psi)$ ist nichtnegativ, da es

= ‖ b ψ ‖^{2}

$= \Vert b\psi\Vert^2$ . Ich frage mich dann, wie die RHS negativ sein kann ...

Gertian

a_{0}

$a_0$ ist ein zeitähnlicher Vernichter, so dass

[a_{0}, a_{0}^{†}] = - 1

$[a_0,a_0^\dagger]=-1$ das verursacht die Minuszeichen

Phönix87

Wie macht das eine Vektornorm negativ?

Gertian

wenn Ihr Vektor ist

a_{0}^{†} | 0 ⟩ = 0

$a^\dagger_0|0\rangle = 0$ mit

| 0 ⟩

$|0\rangle$ definiert als der Zustand, für den

a | 0 ⟩ = 0

$a|0\rangle=0$ Und

[a, a^{†}] = - 1

$[a,a^\dagger]=-1$ Sie stellen fest, dass die Norm dieses Vektors 0 ist. Es ist in der Quantenfeldtheorie bekannt und der springende Punkt der Gupta Bleuler-Einschränkung ist, dass dieser negative Normzustand nicht zum Endergebnis beitragen sollte. Meine Frage ist, dass ich nicht herausfinden kann, warum ich nicht einen dummen Fehler gemacht haben muss, denke ich.

Phönix87

Die kanonische Norm auf einem Hilbertraum ist offensichtlich nicht negativ und nicht entartet, sodass ein Vektor mit Nullnorm der Nullvektor ist. Mischen Sie das mit der Minkowski-(Pseudo-)Norm?

Gertian

Ja, es ist in der Tat eine Pseudonorm. Entschuldigung, dass ich nicht darauf hingewiesen habe. Dies erklärt jedoch immer noch nicht, warum die Gupta-Bleuler-Bedingung nicht erfüllt ist :/

Prof. Legolasov

@ Phoenix87 es ist ein Merkmal der kovarianten Quantisierung. Wir beginnen mit einem inneren Produktraum, in dem Zustände nicht unbedingt eine positive Norm haben. Dann wenden wir die Nebenbedingungen an und beweisen, dass der verbleibende Raum eine positive Norm hat und somit theoretisch für eine quantenmechanische Theorie bewohnbar ist.

Phönix87

Auch hier sind sowohl die linke als auch die rechte Seite im OP wie geschrieben nicht negativ

Gertian

Was ist falsch als? Sie sind nicht wirklich hilfreich, wenn Sie sagen, dass ich falsch liege, ohne meinen Fehler zu lokalisieren ... Und wie @SolenodonParadoxus darauf hingewiesen hat, dass meine Berechnung korrekt ist, habe ich sie nicht richtig interpretiert

Prof. Legolasov

@ Phoenix87 Das sage ich

⟨ 0 | a_{0} a_{0}^{†} | 0 ⟩ = - 1

$\left< 0 \right| a_0 a_0^{\dagger} \left| 0 \right> = -1$ . Meinen Sie damit, dass es falsch ist?

Phönix87

@ Gertian Ich denke, es ist hilfreicher, darauf hinzuweisen, dass irgendwo ein Fehler ist, damit Sie es noch einmal versuchen können, anstatt ihn für Sie zu beheben. @SolenodonParadoxus Ein Operator des Formulars

a a^{*}

$aa^*$ (oder

a^{*} a

$a^*a$ ) ist positiv. Daher kann kein diagonales Element negativ sein, wie ich in meinem ersten Kommentar betont habe. Das ist weil

(a ψ, a ψ) = (ψ, a^{*} a ψ) = ‖ a ψ ‖^{2} \geq 0

$(a\psi,a\psi)=(\psi,a^*a\psi)=\Vert a\psi\Vert^2\geq 0$ .

Prof. Legolasov

@ Phoenix87 Sie sind unwissend und falsch. Auch hier können Sie die nicht verwenden

| | ψ | |^{2} > 0

$||\psi||^2 > 0$ Axiom hier. Wir haben es mit einem inneren Produktraum zu tun, für den es nicht gilt.

Phönix87

Egal Kumpel...

Prof. Legolasov

@Phoenix87 wollte dich nicht beleidigen. Du liegst einfach falsch, das ist es.

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Wie ist der Zustand |a0ai⟩|a0ai⟩|a_0 a_i\rangle physikalisch?

Für jeden Vektor $\psi$ , Die Quantität $(\psi,b^*b\psi)$ ist nichtnegativ, da es $= \Vert b\psi\Vert^2$ . Ich frage mich dann, wie die RHS negativ sein kann ...
$a_0$ ist ein zeitähnlicher Vernichter, so dass $[a_0,a_0^\dagger]=-1$ das verursacht die Minuszeichen
wenn Ihr Vektor ist $a^\dagger_0|0\rangle = 0$ mit $|0\rangle$ definiert als der Zustand, für den $a|0\rangle=0$ Und $[a,a^\dagger]=-1$ Sie stellen fest, dass die Norm dieses Vektors 0 ist. Es ist in der Quantenfeldtheorie bekannt und der springende Punkt der Gupta Bleuler-Einschränkung ist, dass dieser negative Normzustand nicht zum Endergebnis beitragen sollte. Meine Frage ist, dass ich nicht herausfinden kann, warum ich nicht einen dummen Fehler gemacht haben muss, denke ich.
Die kanonische Norm auf einem Hilbertraum ist offensichtlich nicht negativ und nicht entartet, sodass ein Vektor mit Nullnorm der Nullvektor ist. Mischen Sie das mit der Minkowski-(Pseudo-)Norm?
Ja, es ist in der Tat eine Pseudonorm. Entschuldigung, dass ich nicht darauf hingewiesen habe. Dies erklärt jedoch immer noch nicht, warum die Gupta-Bleuler-Bedingung nicht erfüllt ist :/
@ Phoenix87 es ist ein Merkmal der kovarianten Quantisierung. Wir beginnen mit einem inneren Produktraum, in dem Zustände nicht unbedingt eine positive Norm haben. Dann wenden wir die Nebenbedingungen an und beweisen, dass der verbleibende Raum eine positive Norm hat und somit theoretisch für eine quantenmechanische Theorie bewohnbar ist.
Auch hier sind sowohl die linke als auch die rechte Seite im OP wie geschrieben nicht negativ
Was ist falsch als? Sie sind nicht wirklich hilfreich, wenn Sie sagen, dass ich falsch liege, ohne meinen Fehler zu lokalisieren ... Und wie @SolenodonParadoxus darauf hingewiesen hat, dass meine Berechnung korrekt ist, habe ich sie nicht richtig interpretiert
@ Phoenix87 Das sage ich $\left< 0 \right| a_0 a_0^{\dagger} \left| 0 \right> = -1$ . Meinen Sie damit, dass es falsch ist?
@ Gertian Ich denke, es ist hilfreicher, darauf hinzuweisen, dass irgendwo ein Fehler ist, damit Sie es noch einmal versuchen können, anstatt ihn für Sie zu beheben. @SolenodonParadoxus Ein Operator des Formulars $aa^*$ (oder $a^*a$ ) ist positiv. Daher kann kein diagonales Element negativ sein, wie ich in meinem ersten Kommentar betont habe. Das ist weil $(a\psi,a\psi)=(\psi,a^*a\psi)=\Vert a\psi\Vert^2\geq 0$ .
@ Phoenix87 Sie sind unwissend und falsch. Auch hier können Sie die nicht verwenden $||\psi||^2 > 0$ Axiom hier. Wir haben es mit einem inneren Produktraum zu tun, für den es nicht gilt.
@Phoenix87 wollte dich nicht beleidigen. Du liegst einfach falsch, das ist es.

Prof. Legolasov · Answer 1

Ich bin verwirrt über die erste Aussage in Ihrer Frage.

Normalerweise benötigen wir bei der Gupta-Bleuler-Methode physikalische Zustände, um sie zu befriedigen

(A_{0} - A_{3}) | Ψ ⟩ = 0,

$(a_0 - a_3) \left| \Psi \right> = 0,$

Dies ist eine quantisierte Version der Lorentz-Eichbedingung im Impulsraum

P_{μ} A^{μ} = 0,

$p_{\mu} A^{\mu} = 0,$

vorausgesetzt, wir wählen die $x^3$ Achse entlang des Impulses des Photons.

Der Lösungsraum dieser Zwangsbedingung zerfällt in physikalische Zustände, die dadurch erzeugt werden $a_{1,2}^{\dagger}$ und Störzustände, die durch erzeugt werden $a_0^{\dagger} - a_3^{\dagger}$ was gezeigt werden kann, dass es die Nullnorm hat:

⟨ 0 | (A_{0} - A_{3}) (A_{0}^{†} - A_{3}^{†}) | 0 ⟩ = 0.

$\left< 0 \right| (a_0 - a_3) (a_0^{\dagger} - a_3^{\dagger}) \left| 0 \right> = 0.$

Diese können künstlich aus dem inneren Produktraum ausgeschlossen werden, wonach wir den physikalischen Hilbertraum erhalten.

Die von erzeugten Zustände $a_0^{\dagger} + a_3^{\dagger}$ erfüllen die Zwangsbedingung nicht und sind daher unphysikalisch.

Beachten Sie, dass Ihr Bundesland ist $a_0^{\dagger}a_3^{\dagger} \left| 0 \right>$ erfüllt die Einschränkung nicht:

(A_{0} - A_{3}) A_{0}^{†} A_{3}^{†} | 0 ⟩ \neq 0,

$(a_0 - a_3) a_0^{\dagger} a_3^{\dagger} \left| 0 \right> \neq 0,$

und somit ist es unphysikalisch. Dies liegt daran, dass wir den Operator nicht darstellen können $a_0^{\dagger} a_3^{\dagger}$ ausschließlich in Abhängigkeit von $a_1^{\dagger}$ , $a_2^{\dagger}$ Und $a_0^{\dagger} - a_3^{\dagger}$ .

Danke für deine Antwort jetzt ist alles klar. Das Tolle ist, was mich zunächst verwirrt hat, scheint richtig zu sein, sodass ich meine Arbeit nicht wegen meiner Verwirrung wegwerfen muss :)

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