BRST-Quantisierung und -Norm

Zustände mit bestimmter Geisterzahl haben die Norm Null (da Geisterzahl antihermitesch ist und reelle Eigenwerte hat). ZB bei der Quantisierung relativistischer Punktteilchen stellt sich heraus, dass das physikalische Spektrum aus Zuständen mit bestimmter Geisterzahl besteht | k , ↑ ⟩ , k 2 + M 2 = 0 . Und diese Zustände haben null Norm.

Das ist nicht sehr befriedigend, oder? Also, was machen wir? Inneres Produkt auf BRST-Kohomologie neu definieren?

UPD: Erweiterung der Frage (relativistisches Teilchenbeispiel). Wir haben ein Paar echte Anti-Pendel-Felder B , C mit { B , C } = 1 . Die BRST-Gebühr wird durch gegeben Q = C ( P 2 + M 2 ) . Eine irreduzible Darstellung von Geist und Antigeist ist gegeben durch C | ↓ ⟩ = 0 , B | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩ , C | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩ , B | ↑ ⟩ = 0 . Physische Zustände gehorchen Q | ψ ⟩ = 0 . Bis hin zu genauen Zuständen des Formulars Q | A ⟩ Das physikalische Spektrum ist gegeben durch | k , ↑ ⟩ mit k 2 + M 2 = 0 . Aber ⟨ k , ↑ | k ' , ↑ ⟩ = ⟨ k , ↓ | B B | k ' , ↓ ⟩ = 0 für alle k , k ' . Das scheint nicht richtig zu sein?

Warum gehört dieser Zustand Ihrer Meinung nach zum physikalischen Spektrum ? Ein physikalischer Zustand muss BRST-invariant sein und per Definition eine verschwindende Geisterzahl haben.
Wir haben echte Geister C und Antigeist B . Nimm Geisternummer zu sein 1 2 ( B C − C B ) . Wir haben also Zustände | ↓ ⟩ mit Geisternummer − 1 2 Und | ↑ ⟩ mit 1 2 . BRST-Gebühr ist C ( P 2 + M 2 ) , und physikalische Zustände (bis hin zu exakten Vektoren) sind oben erwähnt.
Das beantwortet nicht die Frage, warum Sie behaupten, dies seien die physikalischen Zustände. Wie gesagt, die Geisterzahl Null gehört zu dem, was einen physikalischen Zustand überhaupt charakterisiert .
Welche Zustände sind dann in diesem Beispiel?
Nun, wenn das der richtige Geisterzahloperator ist, wäre das offensichtlich ein Zustand von Null der Geisterzahl | ↑ ⟩ + | ↓ ⟩ , NEIN? Sie sollten Ihre Notation in der Frage wirklich definieren und Gründe angeben, warum Sie glauben, dass ein Zustand mit einer Geisterzahl ungleich Null im physikalischen Raum der Zustände liegt.
Nun, nein, da dieser Staat nicht einmal eine bestimmte Geisternummer hat. Wahrscheinlich wäre eine gebräuchlichere Definition der Geisternummer gerecht C B , und der Staat | ↑ ⟩ wird eine Geisterzahl von null haben. Warum ich glaube, dass es im physikalischen Spektrum liegt, ist, weil es durch vernichtet wird Q und ist nicht exakt (nicht äquivalent zu 0).
Tipp: Erwägen Sie das Hinzufügen von Referenzen, um nützliche und gezielte Antworten zu erhalten.

Antworten (1)

Ja, das ist nicht sehr zufriedenstellend. Die übliche Lösung besteht darin, das innere Produkt zu modifizieren.

⟨ ⟨ A | B ⟩ ⟩ ≡ ⟨ A | C | B ⟩
Dann einfügen { B , C } = 1 in die Norm führt nicht mehr zu einem verschwindenden Ergebnis. Alternativ kann man, wie es der Fragesteller getan hat, versuchen, die Tatsachen zu verwenden | ↑ ⟩ = B | ↓ ⟩ Und B 2 = 0 , aber jetzt werden wir finden B C B stattdessen im alten inneren Produkt.

Das modifizierte Innenprodukt hat zusätzliche Vorteile. Bezüglich der neuen Norm wird der Geisterstrom hermitesch.

Der Staat | k , ↑ ⟩ hat tatsächlich eine Geisterzahl ungleich Null, wie der Fragesteller behauptet. Vielleicht ging es in den Kommentaren um das No-Ghost-Theorem. Das No-Ghost-Theorem ist jedoch eine Aussage, dass physikalische Zustände keine negative Norm haben dürfen, nicht, dass sie eine Geisterzahl von Null haben.

Physikalische Zustände im BRST-Formalismus werden normalerweise als BRST-invariante Zustände mit null Geisterzahl definiert , zumindest so, wie ich es gelernt habe, vgl. Kapitel 14 in "Quantization of Gauge Systems" von Henneaux und Teitelboim. Das Erweitern des Formalismus, um Zustände mit einer Geisterzahl ungleich Null im physikalischen Spektrum zu haben, ist kein Standard. Betrachten Sie als Beispiel, dass die Beschränkung der physikalischen String-Zustände auf diejenigen mit konformer Gewichtung 1 genau die auf diejenigen mit der Geisterzahl Null ist.
Ich kenne dieses Lehrbuch nicht. Meine Quelle sind unveröffentlichte Vorlesungsunterlagen von Peter van Nieuwenhuizen. Aber denke, was ich sage, ist eigentlich bekannt aus dem bc-System in der Stringtheorie, wo es natürlich ist, auf den Torus zu setzen ⟨ ↑ | ↓ ⟩ = 1 anstatt ⟨ ↓ | ↓ ⟩ = 1 . Diese | ↑ ⟩ Und | ↓ ⟩ Staaten sind dann auf die bezogen S L 2 ( R ) unveränderliches Vakuum durch weiteres Handeln mit dem C Gespenst, was zu (1.52) in hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/inc/sst2.pdf führt .
BRST-Quantisierung und -Norm
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v