Frage zu geschlossenen BRST-Vektoren, die auch co-geschlossen sind

Ich studiere den BRST-Quantisierungsformalismus aus dieser Referenz.

Ich habe eine Frage zu Seite 44.

Der Autor führt einen Co-BRST-Operator auf dem erweiterten Hilbert-Raum ein (der auch Geister enthält), der mit bezeichnet ist ∗ Ω .

Unten auf Seite 44 sagt er, dass jeder BRST-Vektor geschlossen ist Ω ψ = 0 wird eindeutig bestimmt, indem verlangt wird, dass es auch mit geschlossen wird. Ich habe Schwierigkeiten, diese Bemerkung zu verstehen.

Er beweist es auf folgende Weise. Lassen ∗ Ω ψ = 0 ; Dann

∗ Ω ( ψ + Ω χ ) = 0 ⇔   ∗ Ω Ω χ = 0 ⇔ Ω χ = 0.

Ich bin mir nicht sicher, wie daraus folgt, dass ein BRST-geschlossener Vektor vorliegt Ω ψ = 0 wird eindeutig dadurch bestimmt, dass sie gemeinsam geschlossen werden muss. Angenommen, ich schreibe ein Element der Kohomologie als ψ ' = ψ + Ω χ . Wenn dieser Vektor BRST-geschlossen ist, dann ψ ' ∈ Ker ⁡ Ω . Wenn ich möchte, dass es auch geschlossen wird, bedeutet das, dass ich das einfach fallen lassen kann Ω χ Teil? Der Autor sagt auch:

Betrachtet man also die BRST-Transformationen als Eichtransformationen auf Zustände im erweiterten Hilbert-Raum, erzeugt durch Ω , Dann ∗ Ω stellt einen Messuhrfixierungsoperator dar, der einen einzelnen bestimmten Zustand aus der vollständigen BRST-Umlaufbahn bestimmt. Zustände, die sowohl geschlossen als auch co-geschlossen sind, werden als (BRST)-Harmonische bezeichnet.

Wie kann ich genau sehen, dass der Co-BRST-Operator einen Pegelfixierungsoperator darstellt?

Schlagen Sie die Hodge-Theorie nach!

Antworten (1)

Diese Behauptung beruht auf der Annahme, dass auf dem erweiterten Hilbertraum H e X T ein nicht entartetes inneres Produkt existiert, lesen Sie bitte den letzten Absatz auf Seite 43.

Aufgrund dieser Annahme:

∗ Ω Ω χ = 0 ⟹ ( ∗ Ω Ω χ , χ ) = ( Ω χ , Ω χ ) = 0 ⟹ Ω χ = 0

Wenn Sie also einen Vektor wählen, der sowohl geschlossen als auch co-geschlossen ist, können Sie ihm keinen exakten Vektor hinzufügen und gleichzeitig die Eigenschaft Nähe + Co-Nähe bewahren, daher ist dies eine einzigartige Wahl unter allen geschlossenen Vektoren, die denselben beschreiben physikalischer Zustand (dh Abweichung durch einen exakten Vektor).

Die Eichfixierung ist hier eine Eichfixierung der BRST-Symmetrie, dh der Hyperfläche im erweiterten Hilbert-Raum definiert durch:

S = { ψ ∈ H e X T ∣ ∗ Ω ψ = 0 }

trifft auf jede BRST-Umlaufbahn (d. h. ψ + Ω χ ) im gleichen Aggregatzustand ( ψ ) genau einmal.

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