Orthogonalität zwischen dem BRST-Closed Subspace und dem Non-BRST-Closed One

Betrachten Sie die BRST-Quantisierung der freien Maxwell-Theorie in einem der gemittelten Lorenz-Eichungen.

S = ∫ − 1 4 F 2 + 1 2 ( ∂ ⋅ A ) 2 + ich C ¯ ∂ 2 C .

Aufruf der Modi des Geistes C C und die Modi des Potentials A μ A μ , der Staat

P μ A μ † | 0 ⟩ = Q B   C † | 0 ⟩
ist BRST-genau, und der Zustand A 0 † | 0 ⟩ ist es nicht, wie aus der Gleichung ersichtlich ist
Q B A 0 † | 0 ⟩ = P 0 C † | 0 ⟩ .

Was mich verwirrt, ist, dass diese beiden Zustände nicht orthogonal sind,

⟨ 0 | A 0 ( P ⋅ A † ) | 0 ⟩ = − P 0 .

Warum ist das in Ordnung?

Der Grund, warum ich das seltsam finde, ist, dass ich erwarte, dass ein physischer Hilbert-Raum orthogonal zu den zusätzlichen Dingen ist, da dies das übliche Verständnis einer sauberen Trennung in Vektorräumen ist.

Warum ist der BRST-geschlossene Hilbert-Raum in diesem Sinne nicht sauber getrennt, und in welchem ​​Sinne ist er sauber getrennt (abgesehen davon, dass er natürlich unter der Zeitentwicklung invariant ist)?

Antworten (1)

Also habe ich es herausgefunden.

Es gibt zwei Punkte, die die Frage falsch macht:

  1. Es gibt keine eindeutige Wahl eines nicht-BRST-geschlossenen Unterraums.
  2. Der richtig gewählte nicht-BRST-geschlossene Unterraum muss nicht orthogonal zum gesamten BRST-geschlossenen Unterraum sein, sondern nur zu dem jeweiligen Vertreter des BRST-Kohomologie-Unterraums.

Beachten Sie für den ersten Punkt, dass if | ψ ⟩ ist nicht BRST geschlossen, ist es auch nicht | ψ ⟩ + | χ ⟩ Wo Q B | χ ⟩ = 0 . Mit anderen Worten, Sie können einem nicht geschlossenen Zustand einen beliebigen BRST-geschlossenen Zustand hinzufügen, und das Ergebnis ist immer noch nicht geschlossen. Aus diesem Grund gibt es keine kanonische Wahl eines nicht geschlossenen Unterraums.

Der schönste Weg, Sie vom zweiten Punkt zu überzeugen, ist, den Hamilton-Operator für den Lagrange-Operator in der Frage in Form von Oszillatoren aufzuschreiben. Aufrufen der beiden Transversal-Oszillatoren bei jedem gegebenen Impuls k → A a , der Oszillator entspricht A 0 A 0 und der dem räumlichen Longitudinalpotential entsprechende Oszillator ∇ → ⋅ A → A L , der Hamiltonoperator ist

H = ∫ D 3 k [ { ∑ a A a † A a } + { C ¯ † C + C † C ¯ } + 1 2 { ( A 0 + A L ) † ( A 0 − A L ) + ( A 0 − A L ) † ( A 0 + A L ) } ] .
Jetzt, ( A 0 + A L ) entspricht dem Raum-Zeit-Längsmodus, der in dieser Spur BRST-genau ist (es ist die BRST-Variation von C ¯ ) Und ( A 0 − A L ) ist die "vierte Polarisierung", die nicht BRST-geschlossen ist.

Der Punkt, den man von diesem Hamilton-Operator mitnehmen muss, ist, dass die Zeitevolution die nicht-BRST-geschlossenen Zustände mit den BRST-exakten Zuständen mischt!

Aber die nicht geschlossenen Zustände sind orthogonal zu den Kohomologierepräsentanten, die die Transversoszillatoren sind, und die Zeitentwicklung mischt sie nicht, also ist die Physik in Ordnung.

Der Grund, warum ich mir wegen dieser Frage Sorgen machte, war, dass ich mich über die Eichinvarianz wunderte.

Das Ändern der Spurweite entspricht der Wahl einer anderen Gruppe von Staaten als Repräsentanten der BRST-Kohomologie. Die Tatsache, dass die nicht geschlossenen Zustände in jedem Eichmaß entkoppelt werden müssen, schien dann zu bedeuten, dass sie besser orthogonal zu jedem Repräsentanten sind, den Sie wählen können, und durch Ändern des Eichmaßes können Sie im Grunde jeden Zustand im BRST-geschlossenen Unterraum zum Repräsentanten machen (I dachte, das ist auch falsch, aber nicht auf interessante Weise), also sind die nicht abgeschlossenen Zustände besser orthogonal zum gesamten abgeschlossenen Unterraum.

Der Punkt ist folgender: Spurwechsel bedeutet auch, einen anderen Repräsentanten für den nicht abgeschlossenen Unterraum zu wählen, der orthogonal zum neuen Repräsentanten des Kohomologie-Unterraums ist!

Der Grund, warum niemand das Bedürfnis hat, darauf hinzuweisen, ist, dass die genaue Form der unphysikalischen Zustände nicht besonders relevant ist, da sie unphysikalisch sind und sich durch allgemeinere Überlegungen ohnehin garantiert entkoppeln lassen.

Als Abschiedskommentar scheint es mir (aber ich habe es nicht richtig überprüft), dass der Weg, um einen * korrekten Vertreter für die nicht geschlossenen Zustände herauszufinden, darin besteht, das Analogon des obigen Hamilton-Operators zu finden und einfach zu beobachten, was der Oszillator multipliziert der genaue Oszillator ist. Die korrekte Quantisierung kann subtil sein, aber der Punkt ist, dass der genaue nicht geschlossene Modus, der in das Kugo-Ojima-Quartett entkoppelt (das Analogon des Sets { C , C ¯ , A 0 + A L , A 0 − A L } in welchem ​​Maßstab auch immer) ist derjenige, der orthogonal zu den physikalischen Zuständen sein muss.

*Das Hinzufügen eines BRST-exakten Zustands zu einem nicht geschlossenen Zustand ändert sein inneres Produkt mit keinem geschlossenen Zustand, daher gibt es keine kanonische Wahl.

Um mehr über das Skalarprodukt von der Stelle zu lesen, an der ich die Antwort gefunden habe, siehe Henneaux und Teitelboims Quantisation of Gauge Theories , Abschnitt 14.2.

Orthogonalität zwischen dem BRST-Closed Subspace und dem Non-BRST-Closed One
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