Warum wird der Lagrange-Ansatz gegenüber dem Hamilton-Ansatz in der QFT bevorzugt? [Duplikat]

Die Annahme in der Frage ist nicht ganz korrekt, da die kanonische Formulierung von QFT den Hamiltonian verwendet.

In der QFT hat der Hamiltonoperator jetzt Feldoperatoren, wobei Eigenzustände jetzt Funktionale sind. In der gewöhnlichen Wellenmechanik sind die Wellenfunktionen reellwertige Funktionen, die Funktionen von Ort und Zeit sind. In der QFT werden die "Wellenfunktionen" zu Wellenfunktionalen: Die Wahrscheinlichkeitsdichte nimmt Zeit und Wellenfunktionen (statt Position) als unabhängige Variablen auf. Stellen Sie sich vor, Sie haben den Hamilton-Operator eines einzelnen harmonischen Oszillators:$H_{i}=P^{2}/2m+m\omega Q^{2}/2$. Fügen Sie nun mehrere harmonische Oszillatoren hinzu:$H=\sum H_{i}+ V_{int}$. Somit haben Sie jetzt viele Impuls- und Positionsoperatoren in Ihrem Konfigurationsraum. Felder haben unendlich viele „harmonische Oszillatoren“ und damit unendlich viele Freiheitsgrade im Konfigurationsraum. Anstatt viele Positionsoperatoren zu haben, haben wir also eine unabzählbar unendliche Anzahl von ihnen, die außerdem ein Label benötigen$i$die wir oben verwendet haben: jetzt verwenden wir$x$als Parameter des Feldes (ganz anders als als Operator), und unsere Wellenfunktion wird zu einer Wellenfunktion, die Felder aufnimmt, die durch Ort und Zeit parametrisiert sind.

Hier ist eine ausgezeichnete Referenz, die diesen Prozess beschreibt: https://physics.ucsd.edu/students/courses/fall2015/physics200a/Hamiltonian%20Formulations%20for%20Continuua-RFS.pdf

Jetzt macht es keinen Spaß, sich mit der funktionalen Schrödinger-Gleichung zu beschäftigen: http://arxiv.org/abs/hep-th/9306161

Das ist also ein Grund: Es ist schwierig, die funktionale Schrödinger-Gleichung zu verwenden.

Ein zweiter Grund: Offensichtliche Lorentz-Invarianz des Lagrange-Operators, da Zeit und Raum gleich behandelt werden, im Gegensatz zum Hamilton-Operator, der eine zusätzliche Zeitableitung als besonders hervorhebt.

Ein dritter Grund: Obwohl die kanonische Formulierung von QFT den Hamilton-Operator verwendet, erhalten wir einen viel einfacheren Hamilton-Operator als Funktion der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, wenn wir Kommutierungsbeziehungen der Felder im freien Hamilton-Operator auferlegen (unter Umgehung der Schwierigkeit, den funktionalen Schrödinger zu verwenden Gleichung), aber das ist nicht so elegant wie das konzeptionelle Summieren über alle Feldkonfigurationen, was unserer Meinung nach in QM tatsächlich passiert.

Das ist mir im Moment durch den Kopf gegangen.

In der Teilchenphysik, wo quantenmechanische Formalismen eine Notwendigkeit sind, spielen Symmetrien und Erhaltungssätze in den Daten eine herausragende Rolle. Der Lagrange-Operator ist mit dem Satz von Noether verbunden, der daraus die erhaltenen Größen und die Symmetrien, die sich aus den Daten ergeben, sauber angibt: SU(3)xSU(2)xU(1).

Diese Frage ist eine Art Satz von Noether für den Hamitonian

Ich glaube, dass "mathematische Einfachheit" die Antwort ist.

Um eine Antwort von @SalehHamdan zu ergänzen (der ich vollkommen zustimme).

Ein weiterer Grund für die Dominanz von Pfadintegralen im Bereich der QFT-Rechenverfahren liegt darin begründet, dass wir uns in erster Linie für Greensche Funktionen interessieren, die raumzeitabhängig sind und im Sinne des Pfadintegralformalismus eine klare Bedeutung haben.

Im Gegensatz dazu interessieren uns im QM die Funktionen von Green nicht. Nehmen Sie zum Beispiel den harmonischen Oszillator. Die entsprechende Green'sche Funktion hängt von den beiden Zeitpunkten ab und liefert somit keine räumliche Information. Sie kann nicht als Wahrscheinlichkeitsamplitude eines Teilchenaustausches zwischen zwei Raumzeitpunkten interpretiert werden, da sie nicht von Ortskoordinaten abhängt!

In der ersten Quantisierung interessieren wir uns also für eine andere Art von Größen (z. B. Matrixelemente des Evolutionsoperators). Und das sind genau die Art von Problemen, die bequem im kanonischen Quantisierungsformalismus gelöst werden können.

Der Lagrange-Formalismus macht die Lorentz-Invarianz der Theorie transparenter. Obwohl der Hamiltonsche Formalismus im Wesentlichen kovariant ist, bricht er die Lorentz-Invarianz formal. Für weitere Einzelheiten können Sie S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (1995), Kap. 7,9.