Wie hängt Schwingers Quantenwirkungsprinzip mit der kleinsten Wirkung zusammen?

Das Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass sich ein Körper so bewegt, dass der Aktionswert S = ∫ L D T ist stationär (oft minimal). Das Prinzip ist geschrieben als

δ S = 0   .

Im Gegensatz dazu liegt das Quantenwirkungsprinzip von Schwinger zwischen einem In- und einem Out-Zustand

⟨ Ö u T | δ S | ich N ⟩ = ℏ ich δ ⟨ Ö u T | ich N ⟩   .
Ich habe eine einfache Frage: Was wird in diesem Fall minimiert? Oder allgemeiner: Was besagt das Prinzip, wenn nur Worte verwendet werden? Das wäre meine Frage 1.

Frage 2. Geringste Wirkung impliziert, dass die tatsächliche Trajektorie speziell ist: Sie unterscheidet sich von allen anderen, weil sie minimale/stationäre Wirkung hat. Inwiefern unterscheidet Schwingers Prinzip die aktuelle Zustandsentwicklung von allen anderen?

Als Antwort auf eine ähnliche, ältere Frage hatte Qmechanic geschrieben:

Schwingers Quantenwirkungsprinzip ist kein Variationsprinzip im Sinne des Auffindens stationärer Punkte für ein Funktional. Vielmehr gibt es eine Formel dafür, wie sich ein Quantensystem (typischerweise eine Überlappung/Übergangsamplitude ⟨𝐴|𝐵⟩) unter einer Änderung externer Parameter/Quellen in der Aktion 𝑆 verändert.

Kann man ein paar Sätze hinzufügen, um die Antwort auf Frage 2 zu vervollständigen? Inwiefern ist die Quantenbewegung etwas Besonderes? Wie gilt es für freie Teilchen? Oder: Wie kann man das Quantenwirkungsprinzip für freie Teilchen in Worte fassen?

Frage 3. Wie wird Schwingers Wirkungsprinzip zum Prinzip der kleinsten Wirkung im klassischen Limes? OK wenn ℏ Null ist, sind die beiden Gleichungen sehr ähnlich. Wird so der Übergang gemacht? Was kann gesagt werden, um es klarer zu machen?

Frage 4. Die rechte Seite des Schwinger-Prinzips ist − ich ℏ multipliziert mit einer komplexen Zahl mit einer Größe gleich oder kleiner als eins. Warum tritt es in das Prinzip ein? Ist es richtig zu sagen, dass die Überlappung für lange Zeiten klein ist und daher die rechte Seite Null ist?

@Qmechanic Ich hatte diese Frage gelesen, einschließlich Ihrer Antwort. Aber es beantwortet die Fragen 1 und 3 nicht und die Frage 2 nur teilweise. Lassen Sie das Thema bitte offen - die Antworten liegen mir am Herzen und ich würde sie sehr gerne wissen.
@Qmechanic Meinst du, dass die Antwort auf Frage 1 "nichts" ist?

Antworten (1)

Beim Quantenvariationsprinzip wird nichts minimiert : Es gibt keine Variation, die auf Null gesetzt wird.

Vielmehr ist das Prinzip die infinitesimale Version von Feynmans Pfadintegral. In der Tat erhält man durch Integrieren des Variationsprinzips die übliche Formel für das Funktionsintegral, wie Schwingers Schüler Bryce DeWitt sehr deutlich betont, vgl. Ref. 1 §10. Tatsächlich ist es schwer, eine bessere Darstellung des Variationsprinzips zu finden als die dieser Literaturstelle.

Da das Variationsprinzip dem funktionalen Integral völlig äquivalent ist, ist die physikalische Interpretation dieselbe: Die Amplitude für jede gegebene Feldkonfiguration ist eine Phase, die durch die klassische Aktion dieser Konfiguration bestimmt wird. Dies ist ein Postulat, es gibt keine tiefere Erklärung dafür, woher das kommt. Aus diesem Prinzip kann man die gesamte Quantenmechanik ableiten, aber man kann nicht das Prinzip selbst ableiten. DeWitt hat jedoch eine sehr gute Motivation. Geh und sieh es dir an.

Außerdem und aus dem gleichen Grund erhält man den klassischen Grenzwert auf die gleiche Weise: Wie üblich liefert die klassische Konfiguration – als kritischer Punkt – einen besonders großen Beitrag zur Gesamtamplitude, mindestens so lange S / ℏ ausreichend groß ist. An der Grenze S / ℏ → ∞ , die klassische Konfiguration ist die einzige Konfiguration – der Rest interferiert alle destruktiv. Das sollte man sich merken, ggf S / ℏ nicht groß ist, können reine Quanteneffekte dominieren, wobei die klassische Konfiguration für die Dynamik völlig irrelevant ist.

Ich verstehe Teilfrage 4 nicht. Aber nein: Die rechte Seite ist (typischerweise) nicht vernachlässigbar für große Zeiten. Es ist in der klassischen Grenze und per Definition nur in dieser Grenze vernachlässigbar. Manchmal, T → ∞ könnte der klassischen Grenze entsprechen (zB wenn wir Wechselwirkungen adiabatisch ausschalten oder so). Aber nicht im Allgemeinen.

Als Nebenbemerkung kann man das Quantenvariationsprinzip als klassisches Variationsprinzip umformulieren, indem man die klassische Aktion durch die effektive (Quanten-)Wirkung ersetzt. Ausgefallener kann man die Quanten-BV-Klammer usw. einführen, die alle klassische Objekte ersetzen. Siehe Ref. 1 §24 bei Interesse. Dies würde den Rahmen dieses Beitrags sprengen.

Verweise.

  1. DeWitt BS - Der globale Ansatz zur Quantenfeldtheorie Vol.1.
Danke, langsam verstehe ich es. Sie schreiben: "Die Amplitude für jede gegebene Feldkonfiguration ist eine Phase, die durch die klassische Aktion dieser Konfiguration bestimmt wird." Aber im Postulat gibt es „in“- und „out“-Zustände. Sollte die Aussage also wie folgt gelesen werden: "Die Amplitude für jeden gegebenen Feldübergang ist eine Phase, die durch die klassische Aktion dieses Übergangs bestimmt wird"?
Und "S/hbar" sollte wohl überall "groß" statt "klein" sein?
Wenn Sie Zeit haben, meine Kommentare zu beantworten, würde ich das Kopfgeld freigeben ...
@ Christian Hallo. 1) Die In/Out-Labels beziehen sich auf generische Zustände. Sie hängen typischerweise funktional von den Feldern ab. Die Variation bezieht sich auf ihre implizite Abhängigkeit davon und nur auf diese Abhängigkeit (wir erlauben keine Variationen, die die funktionale Abhängigkeit von den Feldern ändern). Also: Die Amplitude ⟨in|out⟩ hängt als Funktional von den Feldern ab, und diese Abhängigkeit wird als Phase postuliert, die durch die auf dieser Konfiguration bewertete Aktion bestimmt wird. Dies wird in der Referenz viel ausführlicher erläutert. 2) Ja! 3) Keine Eile, das Kopfgeld zu vergeben, es ist am besten, zu warten, falls eine bessere Antwort erscheint!
Übrigens ist das Buch von DeWitt schrecklich. Viel Formalismus, wenig Physik. Ein Katastrophenbuch zum Erlernen von QFT.
Wie hängt Schwingers Quantenwirkungsprinzip mit der kleinsten Wirkung zusammen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v