Leiten Sie kanonische Vertauschungsbeziehungen aus dem Schwinger-Prinzip ab

Question

Leiten Sie kanonische Vertauschungsbeziehungen aus dem Schwinger-Prinzip ab

Quantenpeitsche

Das Buch von Dyson „Quantum-Field-Theory“ stellt in Abschnitt 4.4 fest, dass man aus Schwingers Quantenwirkungsprinzip kanonische Kommutierungsrelationen ableiten kann. Gibt jedoch keine Berechnung für die kanonischen Impulse, die pendeln sollten.

Ist es möglich, die kanonischen Vertauschungsbeziehungen (für Felder und Impulse) nur aus dem Schwinger-Prinzip abzuleiten?

Bearbeiten: Mit kanonischen Kommutierungsbeziehungen meine ich:

[Φ (X), π (j)] = ich ℏ δ (X - j)

$[\Phi(x), \pi(y)]=i \hbar \delta(x-y)$

[Φ (X), Φ (j)] = 0

$[\Phi(x), \Phi(y)]=0$

[π (X), π (j)] = 0

$[\pi(x), \pi(y)] = 0$

mit $x^0 = y^0$ .

Mit dem Schwinger-Prinzip meine ich das für eine gegebene Lagrange-Funktion $L$ , bei der es sich um eine operatorwertige Funktion handelt $\Phi(x)$ Und $\partial_\mu \Phi(x)$ , eine Variation

Φ^{'} (X^{'}) = Φ (X) + δ Φ (X) = M^{- 1} Φ (X) M^{1},

$\Phi'(x')= \Phi(x) + \delta \Phi(x)= M^{-1}\Phi(x)M^{1},$ und die daraus resultierende Änderung der Eigenzustände

| n_{n e w} ⟩ = M | n_{o l d} ⟩

$|n_{new}\rangle = M |n_{old} \rangle$ , die Änderung der Übergangsamplitude

⟨ N_{N e w, T_{2}} | M_{N e w, T_{1}} ⟩ - ⟨ N_{Ö l D, T_{2}} | M_{Ö l D, T_{1}} = \int D X^{'} L (Φ^{'} (X^{'})) - \int D X L (Φ (X))

$\langle n_{new, t_2}|m_{new, t_1} \rangle - \langle n_{old, t_2}|m_{old, t_1} = \int dx' L(\Phi'(x')) - \int dx L(\Phi(x))$ entspricht der Änderung der Aktion.

Zu Chin Yu

Ich denke, es gibt einige Diskussionen darüber in dem Buch von Manoukian ( https://www.springer.com/gp/book/9783319309385 ), insb. Kapitel 4.3 & 4.6.

Quantenpeitsche

Ich lese es. Und es macht im Grunde die gleichen Dinge wie Dysons Buch. Beide leiten nur die Vertauschungsbeziehungen für ab

[Φ, π]

$[\Phi, \pi]$ , aber nicht für

[Φ, Φ]

$[\Phi, \Phi]$ oder

[π, π]

$[\pi, \pi]$

QMechaniker

Eine weitere Phys.SE-Frage aus Dysons Buch: physical.stackexchange.com/q/341194/2451

Juan E.

Zu spät, aber alle Berechnungen werden in Shwingers 1951 erschienenem Aufsatz: The Theory of Quantized Fieds I durchgeführt . https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.82.914

Antworten (2)

Leiten Sie kanonische Vertauschungsbeziehungen aus dem Schwinger-Prinzip ab

Ich denke, es gibt einige Diskussionen darüber in dem Buch von Manoukian ( https://www.springer.com/gp/book/9783319309385 ), insb. Kapitel 4.3 & 4.6.
Ich lese es. Und es macht im Grunde die gleichen Dinge wie Dysons Buch. Beide leiten nur die Vertauschungsbeziehungen für ab $[\Phi, \pi]$ , aber nicht für $[\Phi, \Phi]$ oder $[\pi, \pi]$
Eine weitere Phys.SE-Frage aus Dysons Buch: physical.stackexchange.com/q/341194/2451
Zu spät, aber alle Berechnungen werden in Shwingers 1951 erschienenem Aufsatz: The Theory of Quantized Fieds I durchgeführt . https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.82.914

QMechaniker · Answer 1

In dieser Antwort werden wir das Schwinger-Aktionsprinzip verwenden, um die CCRs zu beweisen , wie vom OP gefordert. Betrachten wir der Einfachheit halber die Hamiltonsche Formulierung der bosonischen Punktmechanik. (Es ist im Prinzip möglich, auf die Lagrange-Formulierung, Feldtheorie und fermionische Variablen zu verallgemeinern.)

Wir beginnen mit der Hamiltonschen Aktion

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} S_{H} (T_{ich}, T_{F}) = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{H}, \\ L_{H} = & \sum_{k = 1}^{N} P_{k} {\dot{Q}}^{k} - H . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S_H(t_i,t_f)~=~&\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ L_H, \cr L_H~=~&\sum_{k=1}^np_k \dot{q}^k - H . \end{align} \tag{1}$

Das Hamiltonsche Phasenraumpfadintegral lautet $^1$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ Q_{F}, T_{F} | Q_{ich}, T_{ich} ⟩ = & ⟨ Q_{F}, T | \exp {- \frac{ich}{ℏ} \hat{H} Δ T} | Q_{ich}, T ⟩ \\ = & \int_{Q (T_{ich}) = Q_{ich}}^{Q (T_{F}) = Q_{F}} D Q D P \exp {\frac{ich}{ℏ} S_{H} (T_{ich}, T_{F})}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle q_f,t_f | q_i, t_i \rangle ~=~&\langle q_f,t |\exp\left\{-\frac{i}{\hbar} \hat{H} \Delta t \right\}| q_i, t \rangle \cr ~=~&\int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \!{\cal D}q~{\cal D}p~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_H(t_i,t_f)\right\}, \end{align} \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & ⟨ Q_{F}, T_{F} | \hat{F} | Q_{ich}, T_{ich} ⟩ = \int_{Q (T_{ich}) = Q_{ich}}^{Q (T_{F}) = Q_{F}} D Q D P F \exp {\frac{ich}{ℏ} S_{H} (T_{ich}, T_{F})} . \end{matrix}

$\langle q_f,t_f | \hat{F}|q_i, t_i \rangle ~=~ \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \!{\cal D}q~{\cal D}p~F~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_H(t_i,t_f)\right\} . \tag{3}$

Wenn wir die Wirkung (1) infinitesimal ändern, leiten wir das Schwinger-Wirkungsprinzip ab :

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{ℏ}{ich} δ ⟨ Q_{F}, T_{F} & | Q_{ich}, T_{ich} ⟩ \\ \overset{(2)}{=} & \int_{Q (T_{ich}) = Q_{ich}}^{Q (T_{F}) = Q_{F}} D Q D P δ_{0} S_{H} (T_{ich}, T_{F}) \exp {\frac{ich}{ℏ} S_{H} (T_{ich}, T_{F})} \\ \overset{(3)}{=} & ⟨ Q_{F}, T_{F} | {\hat{δ_{0} S}}_{H} (T_{ich}, T_{F}) | Q_{ich}, T_{ich} ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{\hbar}{i}\delta\langle q_f,t_f &| q_i, t_i \rangle \cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \!{\cal D}q~{\cal D}p~ \delta_0 S_H(t_i,t_f)~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_H(t_i,t_f)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\langle q_f,t_f | \widehat{\delta_0 S}_H(t_i,t_f)|q_i, t_i \rangle . \end{align} \tag{4}$

Ebenso sind wir daran interessiert, die Änderung zu berechnen

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | & \hat{F} (T_{F}) | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩ \\ = & \int D Q_{F}^{'} D Q_{F}^{''} ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | Q_{F}^{'}, T_{F} ⟩ ⟨ Q_{F}^{'}, T_{F} | \hat{F} (T_{F}) | Q_{F}^{''}, T_{F} ⟩ ⟨ Q_{F}^{''}, T_{F} | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle q^{\prime}_i,t_i |& \hat{F}(t_f)|q^{\prime\prime}_i, t_i \rangle \cr ~=~& \int \! dq^{\prime}_f~dq^{\prime\prime}_f~ \langle q^{\prime}_i,t_i |q^{\prime}_f,t_f \rangle ~ \langle q^{\prime}_f,t_f | \hat{F}(t_f)|q^{\prime\prime}_f, t_f \rangle~\langle q^{\prime\prime}_f,t_f |q^{\prime\prime}_i,t_i \rangle ,\end{align} \tag{5}$

wo die Anfangszustände $|q, t_i \rangle$ und die mittlere Klammer auf der rechten Seite. von Gl. (5) bleiben von der (späteren) Wirkungsänderung im (späteren) Zeitintervall unberührt $[t_i,t_f]$ . Wir berechnen die Veränderung

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | & δ \hat{F} (T_{F}) | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩ \\ = & δ ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | \hat{F} (T_{F}) | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩ \\ \overset{(5)}{=} & \int D Q_{F}^{'} D Q_{F}^{''} δ ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | Q_{F}^{'}, T_{F} ⟩ ⟨ Q_{F}^{'}, T_{F} | \hat{F} (T_{F}) | Q_{F}^{''}, T_{F} ⟩ ⟨ Q_{F}^{''}, T_{F} | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩ \\ + & \int D Q_{F}^{'} D Q_{F}^{''} ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | Q_{F}^{'}, T_{F} ⟩ ⟨ Q_{F}^{'}, T_{F} | \hat{F} (T_{F}) | Q_{F}^{''}, T_{F} ⟩ δ ⟨ Q_{F}^{''}, T_{F} | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩ \\ \overset{(4)}{=} & \frac{ich}{ℏ} ⟨ Q_{ich}^{'}, T_{ich} | [\hat{F} (T_{F}), {\hat{δ_{0} S}}_{H} (T_{ich}, T_{F})] | Q_{ich}^{''}, T_{ich} ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle q^{\prime}_i,t_i | &\delta\hat{F}(t_f)|q^{\prime\prime}_i,t_i\rangle\cr ~=~& \delta\langle q^{\prime}_i,t_i | \hat{F}(t_f)|q^{\prime\prime}_i,t_i\rangle\cr ~\stackrel{(5)}{=}~& \int \! dq^{\prime}_f~dq^{\prime\prime}_f~ \delta\langle q^{\prime}_i,t_i |q^{\prime}_f,t_f \rangle ~ \langle q^{\prime}_f,t_f | \hat{F}(t_f)|q^{\prime\prime}_f, t_f \rangle~\langle q^{\prime\prime}_f,t_f |q^{\prime\prime}_i,t_i \rangle\cr ~+~&\int \! dq^{\prime}_f~dq^{\prime\prime}_f~ \langle q^{\prime}_i,t_i |q^{\prime}_f,t_f \rangle ~ \langle q^{\prime}_f,t_f | \hat{F}(t_f)|q^{\prime\prime}_f, t_f \rangle~\delta\langle q^{\prime\prime}_f,t_f |q^{\prime\prime}_i,t_i \rangle\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\frac{i}{\hbar}\langle q^{\prime}_i,t_i | [\hat{F}(t_f),\widehat{\delta_0 S}_H(t_i,t_f)]|q^{\prime\prime}_i,t_i\rangle ,\end{align} \tag{6}$

oder äquivalent als Operatoridentität

\begin{matrix} (7) & δ \hat{F} (T_{F}) \overset{(6)}{=} \frac{ich}{ℏ} [\hat{F} (T_{F}), {\hat{δ_{0} S}}_{H} (T_{ich}, T_{F})] . \end{matrix}

$\delta\hat{F}(t_f)~\stackrel{(6)}{=}~\frac{i}{\hbar} [\hat{F}(t_f),\widehat{\delta_0 S}_H(t_i,t_f)]. \tag{7}$

Mit anderen Worten, die Ursache $\delta_0$ führt zur Wirkung $\delta$ . Als nächstes gehen wir zur adiabatischen Grenze $\Delta t:=t_f-t_i\to 0$ wobei der symplektische Term der Aktion (1) über den Hamilton-Term dominiert, dh wir können den Hamilton-Term effektiv entfernen $H$ aus der Rechnung, dh Operatoren im Heisenberg-Bild können in dieser Grenze als zeitunabhängig behandelt werden. $^2$

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{ℏ}{ich} δ {\hat{Q}}^{k} (T_{F}) \overset{(7)}{≃} & [{\hat{Q}}^{k} (T_{F}), {\hat{δ_{0} S}}_{H} (T_{ich}, T_{F})] \\ \overset{(1)}{≃} & [{\hat{Q}}^{k} (T_{F}), \sum_{ℓ = 1}^{N} {\hat{P}}_{ℓ} (T_{F}) δ_{0} {{\hat{Q}}^{ℓ} (T_{F}) - {\hat{Q}}^{ℓ} (T_{ich})}] \\ = & \sum_{ℓ = 1}^{N} [{\hat{Q}}^{k} (T_{F}), {\hat{P}}_{ℓ} (T_{F})] δ_{0} {\hat{Q}}^{ℓ} (T_{F}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{\hbar}{i} \delta\hat{q}^k(t_f) ~\stackrel{(7)}{\simeq}~& [\hat{q}^k(t_f),\widehat{\delta_0 S}_H(t_i,t_f)]\cr ~\stackrel{(1)}{\simeq}~& \left[\hat{q}^k(t_f), \sum_{\ell=1}^n \hat{p}_{\ell}(t_f)~ \delta_0\{ \hat{q}^{\ell}(t_f) - \hat{q}^{\ell}(t_i)\} \right]\cr ~=~&\sum_{\ell=1}^n [\hat{q}^k(t_f), \hat{p}_{\ell}(t_f)]~\delta_0\hat{q}^{\ell}(t_f) . \end{align} \tag{8}$

Da es effektiv keinen Hamiltonoperator gibt, müssen sich Ursache und Wirkung aufheben:

\begin{matrix} (9) & δ_{0} {\hat{Q}}^{ℓ} (T_{F}) + δ {\hat{Q}}^{ℓ} (T_{F}) = 0. \end{matrix}

$\delta_0\hat{q}^{\ell}(t_f) + \delta\hat{q}^{\ell}(t_f)~=~0. \tag{9}$

Gl. (8) ist nur möglich, wenn wir die zeitgleiche CCR haben

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} [{\hat{Q}}^{k} (T), {\hat{P}}_{ℓ} (T)] = & ich ℏ δ_{ℓ}^{k} 1, \\ k, ℓ \in & {1, \dots, N}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\hat{q}^k(t), \hat{p}_{\ell}(t)]~=~&i\hbar \delta_{\ell}^k~{\bf 1} , \cr k,\ell~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align} \tag{10}$

wie OP zeigen wollte. $\Box$

--

$^1$ Hier arbeiten wir im Heisenberg-Bild mit zeitunabhängigen Ket- und Bra-Zuständen und zeitabhängigen Operatoren

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \hat{F} (T_{F}) = & \exp {\frac{ich}{ℏ} \hat{H} Δ T} \hat{F} (T_{F}) \exp {- \frac{ich}{ℏ} \hat{H} Δ T}, \\ Δ T := & T_{F} - T_{ich} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \hat{F}(t_f)~=~&\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \hat{H} \Delta t \right\} \hat{F}(t_f)\exp\left\{-\frac{i}{\hbar} \hat{H} \Delta t \right\}, \cr \Delta t~:=~&t_f-t_i. \end{align} \tag{11}$

Darüber hinaus, $| q, t \rangle$ sind momentane Ortseigenzustände im Heisenberg-Bild,

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} {\hat{Q}}^{k} (T) | Q, T ⟩ = & Q^{k} | Q, T ⟩, \\ k \in & {1, \dots, N} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \hat{q}^k(t)| q, t \rangle~=~&q^k| q, t \rangle, \cr k~\in~&\{1,\ldots, n\}.\end{align} \tag{12}$

siehe zB JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Abschnitt 2.5. Solche Zustände (12) sind nur für pendelnde Observablen wohldefiniert

\begin{matrix} (13) & [{\hat{Q}}^{k} (T), {\hat{Q}}^{ℓ} (T)] = 0, k, ℓ \in {1, \dots, N}, \end{matrix}

$[\hat{q}^k(t), \hat{q}^{\ell}(t)]~=~0 , \qquad k,\ell~\in~\{1,\ldots, n\}, \tag{13}$

daher werden wir die CCR (13) nicht ableiten. Vielmehr ist (13) bei diesem Beweis eine Annahme.

Lassen Sie uns schließlich der Vollständigkeit halber erwähnen, dass anstelle von momentanen Positionseigenzuständen $| q, t \rangle$ , könnten wir momentane Impuls-Eigenzustände verwenden $| p, t \rangle$ , aber wir müssten wieder von der entsprechenden CCR ausgehen

\begin{matrix} (14) & [{\hat{P}}_{k} (T), {\hat{P}}_{ℓ} (T)] = 0, k, ℓ \in {1, \dots, N} . \end{matrix}

$[\hat{p}_k(t), \hat{p}_{\ell}(t)]~=~0 , \qquad k,\ell~\in~\{1,\ldots, n\}. \tag{14}$

Die Annahmen (13) & (14) können durch die Verwendung anderer Methoden vermieden werden. ZB die CCRs (10), (13) & (14) folgen auch aus der Peierls-Klammer . $^3$

$^2$ Notation: Die $\approx$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo eqs. der Bewegung. Der $\sim$ Symbol bedeutet Gleichheits-Modulo-Randausdrücke. Der $\simeq$ Symbol bedeutet Gleichheit in der adiabatischen Grenze, wobei der Hamilton-Operator $H$ kann ignoriert werden.

$^3$ Das Korrespondenzprinzip zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik besagt, dass die zeitgleiche CCR

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} [{\hat{z}}^{ICH} (T), {\hat{z}}^{K} (T)] \overset{(16)}{=} & ich ℏ ω^{ICH K} 1, \\ ICH, K \in & {1, \dots, 2 N}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\hat{z}^I(t), \hat{z}^K(t)] ~\stackrel{(16)}{=}~&i\hbar\omega^{IK}~{\bf 1} , \cr I,K~\in~&\{1,\ldots, 2n\}, \end{align} \tag{15}$

Ist $i\hbar$ mal die zeitgleiche Peierls-Klammer

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} {z^{ICH} (T), z^{K} (T^{'})} \overset{(17)}{≃} & ω^{ICH K}, \\ ICH, K \in & {1, \dots, 2 N} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \{z^I(t), z^K(t^{\prime})\} ~\stackrel{(17)}{\simeq}~&\omega^{IK} , \cr I,K~\in~&\{1,\ldots, 2n\}. \end{align} \tag{16}$

Die Peierls-Klammer ist definiert als

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} {F, G} := & \iint_{[T_{ich}, T_{F}]^{2}} D T D T^{'} \sum_{ICH, K = 1}^{2 N} \frac{δ F}{δ z^{ICH} (T)} G_{R e T}^{ICH K} (T, T^{'}) \frac{δ G}{δ z^{K} (T^{'})} \\ - (F \leftrightarrow G) \\ \overset{(22)}{≃} & \iint_{[T_{ich}, T_{F}]^{2}} D T D T^{'} \sum_{ICH, K = 1}^{2 N} \frac{δ F}{δ z^{ICH} (T)} ω^{ICH K} \frac{δ G}{δ z^{K} (T^{'})} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \{ F,G \}~:=~&\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\sum_{I,K=1}^{2n} \frac{\delta F }{\delta z^I(t)}~G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})~\frac{\delta G }{\delta z^K(t^{\prime})} \cr &- (F\leftrightarrow G)\cr ~\stackrel{(22)}{\simeq}~&\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\sum_{I,K=1}^{2n} \frac{\delta F }{\delta z^I(t)}~\omega^{IK}~\frac{\delta G }{\delta z^K(t^{\prime})}. \end{align} \tag{17}$

Klassisch, wenn die Hamiltonsche Wirkung (1) in symplektische Notation umgeformt wird

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} S_{H} (T_{ich}, T_{F}) \sim & \int_{[T_{ich}, T_{F}]} D T (\frac{1}{2} \sum_{ICH, K = 1}^{2 N} z^{ICH} ω_{ICH K} {\dot{z}}^{K} - H) \\ \sim & \frac{1}{2} \iint_{[T_{ich}, T_{F}]^{2}} D T D T^{'} \sum_{ICH, K = 1}^{2 N} z^{ICH} (T) ω_{ICH K} δ^{'} (T - T^{'}) z^{K} (T^{'}) \\ - \int_{[T_{ich}, T_{F}]} D T H, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S_H(t_i,t_f)~\sim~&\int_{[t_i,t_f]}\!dt\left(\frac{1}{2}\sum_{I,K=1}^{2n} z^I ~\omega_{IK}~ \dot{z}^K-H\right)\cr ~\sim~&\frac{1}{2} \iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}\sum_{I,K=1}^{2n} z^I(t)~\omega_{IK}~ \delta^{\prime}(t\!-\!t^{\prime}) ~z^K(t^{\prime})\cr &-\int_{[t_i,t_f]}\!dt~H, \end{align} \tag{18}$

und sich infinitesimal verändert, dann die klassische Lösung $z^I(t)$ wird ebenfalls infinitesimal verändert $\delta z^I(t)$ , um sicherzustellen, dass die deformierten EL-Gl.

\begin{matrix} (19) & 0 \approx \frac{δ}{δ z^{ICH} (T)} (S_{H} + δ_{0} S_{H}) [z + δ z] \end{matrix}

$0~\approx~ \frac{\delta}{\delta z^I(t)} (S_H+\delta_0 S_H)[z+\delta z] \tag{19}$

sind zufrieden. (Wir ignorieren in dieser Berechnung überall Randterme.) Mit anderen Worten

\begin{matrix} (20) & \frac{δ δ_{0} S_{H} (T_{ich}, T_{F})}{δ z^{ICH} (T)} \approx - \int_{[T_{ich}, T_{F}]} D T^{'} \sum_{K = 1}^{2 N} H_{ICH K} (T, T^{'}) δ z^{K} (T^{'}), \end{matrix}

$\frac{\delta ~\delta_0 S_H(t_i,t_f)}{\delta z^I(t)}~\approx~-\int_{[t_i,t_f]}\! dt^{\prime} \sum_{K=1}^{2n}H_{IK}(t,t^{\prime})~\delta z^K(t^{\prime}), \tag{20}$

wo der hessisch ist

\begin{matrix} (21) & \begin{aligned} H_{ICH K} (T, T^{'}) := & \frac{δ^{2} S_{H} (T_{ich}, T_{F})}{δ z^{ICH} (T) δ z^{K} (T^{'})} \\ = & ω_{ICH K} δ^{'} (T - T^{'}) - \partial_{ICH} \partial_{K} H δ (T - T^{'}) \\ ≃ & ω_{ICH K} δ^{'} (T - T^{'}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} H_{IK}(t,t^{\prime}) ~:=~& \frac{\delta^2 S_H(t_i,t_f)}{\delta z^I(t) \delta z^K(t^{\prime})}\cr ~=~&\omega_{IK}~\delta^{\prime}(t\!-\!t^{\prime}) -\partial_I\partial_K H ~\delta(t\!-\!t^{\prime})\cr ~\simeq~&\omega_{IK}~\delta^{\prime}(t\!-\!t^{\prime}). \end{align} \tag{21}$

Dann vereinfacht sich die retardierte Green-Funktion zu

\begin{matrix} (22) & G_{R e T}^{ICH K} (T, T^{'}) \overset{(21) + (23)}{≃} ω^{ICH K} θ (T - T^{'}), \end{matrix}

$G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime}) ~\stackrel{(21)+(23)}{\simeq}~\omega^{IK}~\theta(t\!-\!t^{\prime}),\tag{22}$

\begin{matrix} (23) & \int_{[T_{ich}, T_{F}]} D T^{'} \sum_{J = 1}^{2 N} H_{ICH J} (T, T^{'}) G_{R e T}^{J K} (T^{'}, T^{''}) = δ_{ICH}^{K} δ^{'} (T - T^{''}) . \end{matrix}

$\int_{[t_i,t_f]}\! dt^{\prime} \sum_{J=1}^{2n}H_{IJ}(t,t^{\prime})~G^{JK}_{\rm ret}(t^{\prime},t^{\prime\prime}) ~=~\delta_I^K~\delta^{\prime}(t\!-\!t^{\prime\prime}). \tag{23}$

Daher leiten wir das klassische Analogon der Operatoridentität (7)

\begin{matrix} (24) & δ F (T_{F}) \overset{(25)}{=} {δ_{0} S_{H} (T_{ich}, T_{F}), F (T_{F})} \end{matrix}

$\delta F(t_f)~\stackrel{(25)}{=}~\{\delta_0 S_H(t_i,t_f), F(t_f)\} \tag{24}$

aus

\begin{matrix} (25) & \begin{aligned} δ z^{ICH} (T_{F}) \overset{(20) + (23)}{=} & - \int_{[T_{ich}, T_{F}]} D T^{'} \sum_{K = 1}^{2 N} G_{R e T}^{ICH K} (T_{F}, T^{'}) \frac{δ δ_{0} S_{H} (T_{ich}, T_{F})}{δ z^{K} (T^{'})} \\ \overset{(17)}{=} & {δ_{0} S_{H} (T_{ich}, T_{F}), z^{ICH} (T_{F})} \\ ≃ & {\sum_{J = 1}^{2 N} z^{J} (T_{F}) ω_{J K} δ_{0} z^{K} (T_{F}), z^{ICH} (T_{F})} \\ = & - \sum_{J = 1}^{2 N} δ_{0} z^{J} (T_{F}) ω_{J K} {z^{K} (T_{F}), z^{ICH} (T_{F})} \\ \overset{(16)}{≃} & - δ_{0} z^{ICH} (T_{F}), \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \delta z^I(t_f) ~\stackrel{(20)+(23)}{=}&-\int_{[t_i,t_f]}\! dt^{\prime} \sum_{K=1}^{2n} G^{IK}_{\rm ret}(t_f,t^{\prime})~\frac{\delta ~\delta_0 S_H(t_i,t_f)}{\delta z^K(t^{\prime})}\cr ~\stackrel{(17)}{=}~~&\{\delta_0 S_H(t_i,t_f), z^I(t_f)\} \cr ~\simeq~~~&\left\{ \sum_{J=1}^{2n} z^J(t_f)~\omega_{JK} \delta_0z^K(t_f) , z^I(t_f)\right\}\cr ~=~~~&-\sum_{J=1}^{2n} \delta_0 z^J(t_f)~\omega_{JK} \{z^K(t_f) , z^I(t_f)\}\cr ~\stackrel{(16)}{\simeq}~~&-\delta_0z^I(t_f),\end{align} \tag{25}$

was wiederum mit der Tatsache übereinstimmt, dass sich Ursache und Wirkung aufheben müssen:

\begin{matrix} (26) & δ_{0} z^{ICH} (T_{F}) + δ z^{ICH} (T_{F}) = 0, \end{matrix}

$\delta_0z^I(t_f) + \delta z^I(t_f)~=~0, \tag{26}$

da es praktisch keinen Hamiltonoperator gibt.

Könnte man dasselbe für Fermionen tun? Soweit ich weiß, sind die CCRS für Position und Impuls (13) und (14) eine Annahme, die einer Feldkonfiguration auf einmal die volle Freiheit garantiert. Könnte ich die Antikommutierungsbeziehung genauso annehmen?
Was tun Sie außerdem, wenn Sie annehmen, dass der Lagrangian eine Funktion von ist $\dot{\phi}$ Und $\phi$ , nicht von $\phi$ Und $\pi$ (wie du es getan hast, hast du sie genannt $q$ Und $p$ , aber es ist dasselbe). Ich weiß, wie man die Vertauschungsbeziehungen (10) für diesen Fall herleitet, aber ich kann in diesem Fall (14) nicht "annehmen". Ich kann verstehen, dass die Annahme von (13) für die Unabhängigkeit der Felder erforderlich ist (das wäre $q$ ), aber woher weiß ich, dass das gleiche gilt für $\hat{p} = \frac{\partial L(\hat{q}, \hat{\dot{q}}) }{\partial \dot{q}}$ ?
Ref. für später: arxiv.org/abs/1503.08091 , arxiv.org/abs/hep-th/0204003

David Bar Mosche · Answer 2

Ja, es ist möglich. Ich werde es mit einem sehr einfachen quantenmechanischen Beispiel demonstrieren. Die Verallgemeinerung zur Quantenfeldtheorie ist einfach. Diese Ableitung entspricht mehr oder weniger Dysons Buch, mit einer besonderen Auswahl von $t=0$ als raumartige Hyperfläche.

Ausgehend von einer einfachen freien Partikelaktion:

ICH = \int D T L = \int D T \frac{M}{2} {\dot{X}}^{2}

$I = \int dt L = \int dt\frac{m}{2}\dot{x}^2$ Das kanonische Momentum

P = \frac{\partial L}{\partial \dot{X}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ Indem wir die Legendre-Transformation durchführen, erhalten wir die Wirkung in der Hamilton-Form

ICH = \int D T (P \dot{X} - H)

$I = \int dt (p \dot{x} - H)$ Mit dem Hamiltonian

H = \frac{P^{2}}{2 M}

$H = \frac{p^2}{2 m}$ Um die Vertauschungsbeziehungen eines Operators mit den Phasenraumvariablen abzuleiten, ersetzen wir den bestehenden Hamiltonoperator durch diesen Operator als neuen Hamiltonoperator

H^{'}

$H'$ .

In unserem Fall wählen wir einen neuen Hamilton-Operator:

H^{'} = P

$H' = p$ Dies wird es uns ermöglichen, die Kommutierungsbeziehungen des Impulsoperators mit den anderen Operatoren zu finden. Die ation:

{ICH}^{'} = \int D T (P \dot{X} - H^{'}) = \int D T (P \dot{X} - P)

$I' = \int dt (p \dot{x} - H') = \int dt (p \dot{x} - p)$

Wir leiten die Bewegungsgleichungen nach dem Variationsprinzip auf die neue Aktion ab

\begin{aligned} δ {ICH}^{'} & = \int D T (δ P \dot{X} + P \dot{δ X} - δ P) \\ = \int D T (δ P \dot{X} - \dot{P} δ X - δ P) + B Ö u N D A R j T e R M S \\ = \int D T (δ P (\dot{X} - 1) - \dot{P} δ X) + B Ö u N D A R j T e R M S \end{aligned}

$\begin{align*} \delta I' &= \int dt ( \delta p \dot{x} + p \dot{\delta x} - \delta p ) \\ &= \int dt ( \delta p \dot{x} -\dot{ p} \delta x - \delta p ) + \mathrm{boundary \quad terms} \\ &= \int dt ( \delta p (\dot{x}-1) -\dot{ p} \delta x ) + \mathrm{boundary \quad terms} \end {align*}$

Also die Bewegungsgleichungen

\dot{X} = 1, \dot{P} = 0

$\dot{x} = 1, \quad \dot{p} = 0$ Aber nach den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für jeden Operator

O

$O$ , Wir müssen haben:

\dot{Ö} = \frac{ich}{ℏ} [H^{'}, Ö]

$\dot{O} = \frac{i}{\hbar}[H', O]$ Also in unserem Fall

\dot{X} = 1 ⟹ \frac{ich}{ℏ} [P, X] = 1 ⟹ [X, P] = ich ℏ

$\dot{x} = 1 \implies \frac{i}{\hbar}[p, x] = 1 \implies [x, p] = i \hbar$

\dot{P} = 0 ⟹ \frac{ich}{ℏ} [P, P] = 0 ⟹ [P, P] = 0

$\dot{p} = 0 \implies \frac{i}{\hbar}[p, p] = 0 \implies [p, p] = 0$

Es tut mir leid, aber dieser Beweis basiert weder auf dem Schwinger-Prinzip, noch verstehe ich ihn vollständig: Warum sollten Sie den Hamilton-Operator wählen dürfen? $P$ ?
Genauer gesagt: Ihre Ableitung gilt für einen speziellen Hamilton-Operator <-> einen speziellen Lagrange-Operator. aber die Vertauschungsrelationen werden in jeder Theorie unabhängig von der Wahl der Lagrangefunktion auferlegt.
Die kanonischen Kommutierungsrelationen hängen nicht vom Hamiltonoperator ab. Sie hängen nur vom ersten Term der Wirkung ab, der den Hamiltonoperator nicht enthält (in unserem Fall der Term $p\dot{x}$ ). (Dieser Begriff wird üblicherweise als symplektisches Potential bezeichnet). Beispielsweise sind die kanonischen Kommutierungsbeziehungen eines freien Teilchens, eines harmonischen Oszillators und eines Teilchens in einem Potentialtopf trotz der Tatsache, dass Hamiltonoperatoren unterschiedlich sind, gleich. Aus diesem Grund wurden die Vertauschungsrelationen aus einer Theorie mit demselben symplektischen Potential, aber mit einem anderen, aber geeignet gewählten Hamiltonoperator berechnet.
Forts. Zweitens geht es nicht darum, den Hamiltonoperator ändern zu dürfen. Sie verwenden die Theorie mit dem modifizierten Hamiltonoperator für nichts anderes als die Ableitung der Vertauschungsrelationen. Ihre Theorie ist immer noch die ursprüngliche Theorie, aber nach der Herleitung der Vertauschungsbeziehungen können Sie diese auf die ursprüngliche Theorie anwenden. Der Trick beim Ersetzen des Hamilton-Operators besteht darin, dass der Hamilton-Operator der Generator der Zeitentwicklung ist, sodass Sie seine infinitesimale Wirkung aus den Bewegungsgleichungen unter Verwendung des Heisenbeg-Prinzips ableiten können.
Drittens, wie ich am Anfang der Antwort geschrieben habe, nutze ich die Zeit $t=0$ als raumartige Hyperfläche. Bei dieser Auswahl wird Dysons Gleichung (188), die aus dem Schwinger-Prinzip abgeleitet ist, zu Gleichung (190) (Heisenberg), die ich tatsächlich verwendet habe. Versuchen Sie bitte, eine Theorie eines Teilchens, das minimal an ein elektromagnetisches Potential gekoppelt ist, als Übung zu nehmen und die verallgemeinerten Kommutierungsbeziehungen herzuleiten. (Dieser Fall unterscheidet sich von dem obigen, da das symplektische Potential durch den Wechselwirkungsterm modifiziert wird).
Ich habe es getan, aber ich verstehe immer noch nicht, warum die Kommutierungsbeziehung unabhängig von der gewählten Lagrangian sein sollte. Ich sehe jedoch, wie Ihre Antwort mit dem Schwingerprinzip zusammenhängt.
Die Kommutierungsrelationen ändern sich nicht, wenn der Hamiltonoperator (und folglich auch der Lagrangeoperator) modifiziert wird, weil sie nur vom Phasenraum abhängen und der Phasenraum im Wesentlichen durch den symplektischen Potentialterm der Aktion festgelegt ist. Bitte lesen Sie die folgenden beiden Artikel: arxiv.org/abs/hep-th/0110114v3 arxiv.org/abs/1104.5269 Curtright und Zachos.
Forts. Grundsätzlich ist der Phasenraum der Satz von Anfangsdaten, die man braucht, um die Bewegungsgleichungen zu lösen. In den Beispielen des Haupttextes müssen Sie die Anfangsposition und -geschwindigkeit (oder den Impuls) kennen, unabhängig davon, welchen Hamilton-Operator Sie verwenden. Sie werden also durch denselben Phasenraum beschrieben; daher respektieren sie die gleichen kanonischen Kommutierungsbeziehungen. Quantisierung ist eigentlich ein Prozess, bei dem der Phasenraum durch einen Hilbert-Raum ersetzt wird und durch Operatoren über den Phasenraum funktioniert.
Forts. In den Beispielen der Feldtheorie sind die Phasenräume unendlichdimensional, aber wir können die Kommutierungsbeziehungen formal mit der gleichen Methode ableiten. Das Ergebnis ist, dass die Kommutierungsbeziehungen die gleichen sind wie die Poisson-Klammern multipliziert mit $i\hbar$ . Im unendlichdimensionalen Fall kann diese Entsprechung aufgrund des Vorhandenseins von Anomalien unterbrochen werden und anomale Terme erscheinen in den Kommutierungsbeziehungen. Das vorliegende Verfahren kann diese Anomalien jedoch nicht erkennen, da es im Grunde klassisch ist.
Ich habe es mir überlegt, und es ergibt irgendwie Sinn. Aber gibt es dann nicht einen Widerspruch, wenn ich mir den Fall der Fermionen anschaue?
Für Fermionen könnte ich dasselbe tun wie Sie, und es würde die "falschen" Kommutierungsbeziehungen ergeben, da es sich um Kommutierungs- und nicht um Antikommutierungsbeziehungen handeln würde. Was ist falsch an dieser Argumentation?
Wie kurz erwähnt, ist diese Methode im Grunde klassisch. Es ergibt tatsächlich die Poisson-Klammern, an denen wir die kanonische Dirac-Quantisierung durchführen und durch ersetzen $i\hbar$ mal der Kommutator. Eigentlich wird der letzte Schritt von Hand gemacht. Im fermionischen Fall liefert diese Methode immer noch die Poisson-Klammern, aber wir ersetzen sie manuell durch den Kommutator, wenn der Hamilton-Operator gerade ist, und den Antikommutator, wenn der Hamilton-Operator ungerade ist.

Leiten Sie kanonische Vertauschungsbeziehungen aus dem Schwinger-Prinzip ab

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