Gibt es irgendeinen Sinn, in dem wir Aktion als physikalisch beobachtbare Größe betrachten können? Wie würden Experimente zur Messung überhaupt aussehen? Mich interessieren Antworten sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik.
Ich bin heute auf ein Physik-Lehrbuch mit dem Titel „Motion Mountain“ gestoßen, mit Bänden, die ein breites Spektrum der Physik abdecken, geschrieben im Laufe des letzten Jahrzehnts von einem engagierten deutschen Physiker mit Unterstützung einiger Stiftungen für Physikvermittlung. Es scheint also ein ernsthaftes Unterfangen zu sein, aber seine Herangehensweise an viele Dinge ist nicht standardisiert und klingt für mich oft einfach falsch. Bei der Diskussion seiner Herangehensweise an einige Themen sagt der Autor:
Über Handlung als Observable
Zahlreiche Physiker beenden ihr Universitätsstudium, ohne zu wissen, dass Aktion eine physikalische Beobachtungsgröße ist. Das müssen die Schüler lernen. Aktion ist das Integral der Lagrange-Funktion über die Zeit. Es ist eine physisch beobachtbare Größe: Aktion misst, wie viel in einem System im Laufe der Zeit passiert. Wenn Sie fälschlicherweise glauben, dass Handeln nicht beobachtbar ist, gehen Sie der Sache auf den Grund und überzeugen Sie sich selbst – insbesondere, wenn Sie Vorträge halten.
http://www.motionmountain.net/onteaching.html
Weiter diskutiert der Autor auch Messungen dieser physikalischen Observablen und sagt
Kein einziger Versuch ergibt [...] Aktionswerte kleiner als hbar
Ich denke also, er meint es wörtlich, dass Handlung physikalisch messbar und außerdem quantifiziert ist. Aber in welchem Sinne, wenn überhaupt, können wir Handeln als beobachtbares Phänomen diskutieren?
Meine aktuellen Gedanken:
Nicht nützlich, um die Frage im Allgemeinen zu beantworten, erklärt aber hoffentlich, woher meine Verwirrung kommt.
Ich gebe zu, wie im Zitat gerügt, ich habe das nicht in der Uni gelernt und eigentlich klingt es für mich einfach falsch. Das Lehrbuch behandelt die klassische und die Quantenmechanik, und ich verstehe wirklich nicht, wie diese Idee dazu passt.
Klassische Physik
Das System entwickelt sich auf einem klaren Weg, also könnten wir versuchen, alle Terme in der Lagrange-Funktion zu messen und entlang des Weges zu integrieren. Mehrere Lagrangeianer können jedoch dieselbe Evolution klassisch beschreiben. Das triviale Beispiel ist die Skalierung durch eine Konstante. Oder betrachten Sie die Lagrange-Funktion aus der Elektrodynamik, die einen Term enthält, der proportional zum Vektorpotential ist, das selbst nicht direkt messbar ist. Wenn Action also tatsächlich ein "physisches Observable" wäre, könnte man den "korrekten" Lagrange bestimmen, was für mich wie Unsinn klingt. Vielleicht interpretiere ich zu viel in die Formulierung hinein, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich sie auf eine Weise interpretieren kann, die tatsächlich sowohl nützlich als auch richtig ist.
Quantenmechanik
Zumindest hier verschwindet das ständige Skalierungsproblem der klassischen Physik. Der Weg, den Lagrange-Operator in der Quantenmechanik zu verwenden, besteht jedoch darin, über alle Pfade zu summieren. Weiterhin bleibt die Frage des Vektorpotentials. Ich sehe also nicht ein, wie man behaupten könnte, dass es eine bestimmte Aktion gibt, geschweige denn eine messbare. Alternativ könnten wir uns dem nähern, indem wir fragen, ob die Aktion als selbstadjungierter Operator im Hilbert-Raum angesehen werden kann ... aber die Aktion ist eine Funktion eines bestimmten Pfads, sie ist kein Operator, der auf einen Zustand im Hilbert-Raum einwirkt und gibt dir einen neuen Zustand. Auf den ersten Blick scheint es also nicht einmal in der gleichen Klasse mathematischer Objekte wie Observables zu sein.
Letztendlich lassen die Kommentare, dass Experimente die Aktion gemessen und gezeigt haben, dass sie quantisiert ist, so klingen, als wäre dies nur Routine und grundlegendes Zeug, das ich bereits hätte lernen sollen. In welchem Sinne, wenn überhaupt, können wir Handlung als eine physisch beobachtbare Größe diskutieren? Wie würden Experimente zur Messung überhaupt aussehen?
Das Buch verbreitet einen Mythos.
Experimente messen den Drehimpuls, nicht die Aktion – obwohl diese die gleichen Einheiten haben . Man findet empirisch, dass der Drehimpuls in jeder bestimmten (Einheitslängen-) Richtung in Vielfachen von auftritt , aufgrund der Tatsache, dass ihre Komponenten die kompakte Lie-Gruppe SO(3) oder ihre doppelte Hülle U(2) erzeugen.
Diese Plancksche Konstante als ''Wirkungsquantum'' bezeichnet wird, hat allein historische Gründe . Es impliziert nicht, dass die Aktion quantisiert ist oder dass ihr minimaler Wert es ist . Frühe Quantentheorien wie die Bohr-Sommerfeld-Näherung verwendeten quantisierte Aktion, aber dies war eine Annäherung an die allgemeinere Quantisierung von Dirac usw. Man muss außerdem darauf achten, das Wort Aktion in „Aktionswinkelkoordinaten“ nicht mit der Aktion zu verwechseln der Variationsrechnung .
Tatsächlich ist die Aktion eines durch einen Lagrange definierten Systems eine wohldefinierte Observable nur im sehr allgemeinen und abstrakten Sinne der Quantenmechanik , wo jeder selbstadjungierte Operator auf einem Hilbert-Raum als Observable bezeichnet wird, unabhängig davon, ob wir oder nicht haben eine Möglichkeit, es zu messen. Die Aktion eines Systems entlang eines festen dynamisch zulässigen Pfads hängt von einer angenommenen Anfangszeit und Endzeit ab und geht gegen Null, wenn sich diese Zeiten einander nähern – dies gilt sogar, wenn es ein Operator ist. Daher sind seine Eigenwerte zeitkontinuierlich und müssen gegen Null gehen, wenn das Zeitintervall gegen Null geht. Dies ist mit einem Spektrum, das aus ganzzahligen oder halbzahligen Vielfachen besteht, nicht kompatibel .
In der Sprache des OP ist Aktion ein Funktional, da es ein Integral des Lagrange ist ... aber über einen willkürlichen Pfad. Mit anderen Worten, es ist ein abstraktes mathematisches Objekt, das kein Gegenstück in der realen Welt hat .
Dieses Funktional wird dann bezüglich aller möglichen Trajektorien minimiert. Quantenmechanisch entspricht die Wirkung entlang der optimalen Trajektorie der Phase einer Wellenfunktion, die messbar (obwohl bis auf eine Konstante definiert) ist, zB in den Experimenten zum Aharonov-Bohm-Effekt und allen anderen Interferenzexperimenten. Die Tatsache wurde lange vor dem Aufkommen der Pfadintegrale erkannt – Landau&Livshitz leiten die quasiklassische Näherung von einer ikonischen Erweiterung der Phase der Wellenfunktion ab, die sie offen Aktion nennen .
Man kann eine On-Shell-Aktion messen, indem man Zyklen zählt und die Phase innerhalb des Zyklus notiert.
Einzelheiten:
ist ein echter Zeitschritt des Systems, das aus beobachtbaren gleichzeitigen Komponenten besteht. Durch Beobachtung der Komponenten kann man sich wiederholende Muster finden. Grundsätzlich zirkulieren alle Systeme.
ist die konstante Information des Systems oder der Hauptfunktion von Hamilton .
Notiz, ist durch Beobachtung, dh den physischen Inhalt. Dann wird es zugeordnet per definitionem führt zu . sagt das dann Und unabhängig zu einem Zeitschritt beitragen .
Abspaltung eines nicht beobachtbaren Teils des Systems und Zuordnung zum Ort des beobachteten Teils halb halb, macht . Halb-Halb ist die übliche, aber nicht zwingende Wahl für .
bleibt konstant. Es ist die Information des Zyklus dividiert durch die Periodendauer. . Man kann nicht minimieren weil es monoton zunimmt und zählt, bis das System aufhört zu existieren.
oszilliert und kehrt zyklisch auf 0 zurück. kehrt nach einem oder mehreren Zyklen zum gleichen Wert zurück. Die Minimierung dieses Problems erzeugt Bedingungen, um Observablen demselben Systemzeitschritt (den Bewegungsgleichungen) zuzuordnen.
Man kann eine Aktion messen, die die Bewegungsgleichungen erfüllt, indem man Zyklen zählt und die Phase innerhalb des Zyklus notiert.
Die Messung unserer Alltagszeit erfolgt auch über das Messen von Handlungen.
Der Vergleich von Systemänderungen mit unserer Zeiteinheit motiviert Energie . ist die Systemzeit dividiert durch unsere Zeit, was Frequenz mal ein Faktor ist, um die Einheiten konsistent zu halten.
QMechaniker
Al Braun
Andreas