Was ist die physikalische Bedeutung der Aktion in der Lagrange-Mechanik?

Das Hamiltonsche H und das Lagrangesche L , die in der klassischen Mechanik eher abstrakte Konstruktionen sind, erhalten in der relativistischen Quantenmechanik eine sehr einfache Interpretation. Beide sind proportional zur Anzahl der Phasenwechsel pro Zeiteinheit. Der Hamiltonoperator verläuft über der Zeitachse (der vertikalen Achse in der Zeichnung), während der Lagrangeoperator über der Flugbahn des sich bewegenden Teilchens, der t'-Achse, verläuft.

Die Abbildung zeigt die relativistische De-Broglie-Welle in einem Minkowski-Diagramm. Das Dreieck stellt die Beziehung zwischen dem Lagrange- und dem Hamilton-Operator dar, der sowohl in der relativistischen als auch in der nicht-relativistischen Physik gilt.

Der Hamilton-Operator zählt die Phasenänderungen pro Zeiteinheit auf der vertikalen Achse, während der Term pv die Phasenänderungen pro Einheit auf der horizontalen Achse zählt, die die Entfernung darstellt: v ist die pro Zeiteinheit zurückgelegte Entfernung, während p proportional zur Phase ist. Änderungen pro Entfernungseinheit, daher der Begriff pv.

Die Aktion kann nun als proportional zur Gesamtzahl der Phasenänderungen über die Flugbahn des Teilchens betrachtet werden. Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist somit gleichbedeutend mit dem Prinzip der kleinsten Phasenänderung . In der speziellen Relativitätstheorie ist letzteres gleichbedeutend mit dem Prinzip der kleinsten Eigenzeit, da die „Eigenzeit“, wie sie das Teilchen erfährt, proportional zur Anzahl der Phasenänderungen auf der Flugbahn ist.

Hans

Einige Zeit, nachdem Newton die Naturgesetze in Bezug auf eine augenblickliche Beziehung beschrieben hatte, bemerkten andere, dass die Geschichte und nicht der augenblickliche Zustand eines Systems in mindestens einem Fall beschrieben werden konnte, indem man sagte, dass es einer bestimmten Beziehung gehorchte: eine bestimmte Funktion, die den Verlauf beschreibt, muss immer diejenige sein, die (a) mit den beobachteten Werten beginnt und endet und (b) den niedrigsten Wert dieser Funktion hat.

Dies ist die genau entgegengesetzte Perspektive zur Betrachtung der Natur in einem Augenblick.

Der besondere Fall war der Weg (Geschichte) eines Lichtstrahls durch zwei verschiedene Medien. Die minimierte Funktion war T: die Zeit, die der Strahl braucht, um von A nach B zu gelangen. Sie sagten: „Es gibt unendlich viele mögliche Wege; das Naturgesetz, das in diesem Fall gilt, ist, dass die Funktion T die kleinste ist aller möglichen Wege."

Dies führte instinktiv zu der Frage, ob dies nicht ein spezifischer Fall einer allgemeineren Formulierung des Naturgesetzes ist, die der von Newton entspricht: In jedem System, nicht nur in Lichtstrahlen, gibt es eine Funktion (wie die Laufzeit) die entdeckt werden kann, die minimiert wird. Die Natur wird immer die Trajektorie wählen, wo diese Funktion minimiert ist.

Per Definition ist diese Funktion, falls vorhanden, die Aktion. (Es können mehrere sein). Für die klassische Mechanik ist die Funktion das Integral der Differenz zwischen der potentiellen und der kinetischen Energie, aber es ist pervers und verwirrend, letztere als Definition der Aktion zu nehmen. Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist viel allgemeiner. Das gilt zum Beispiel für die Quantenphysik.

Aktion ist intuitiv das, was minimiert wird, wie die Ausbreitungszeit eines Lichtstrahls oder die durchschnittliche potentielle Energie minus kinetische Energie eines Körpers, der über eine hügelige Oberfläche von A nach B gleitet, in jeder Geschichte, jeder Flugbahn.

Wenn Sie relationale Datenbanken kennen, formulierte Newton das Naturgesetz als eine AUSWAHL von Attributen, die den Zustand des Systems beschreiben („wo war das Teilchen zur Zeit t?“ und „was war sein Impuls?“), und die späteren Wissenschaftler wählten stattdessen eine GRUPPEN-Funktion aller Zwischenzustände zwischen Beginn und Ende des Gedankenexperiments.

I) Mindestens drei verschiedene Größen werden in der Physik üblicherweise als Wirkung bezeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet$S$:

1. Die Off-Shell-Aktion$S[q;t_i,t_f]$,

2. Die (Dirichlet) On-Shell-Aktion$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$, und

3. Hamiltons Hauptfunktion$S(q,\alpha, t).$

Für ihre Definitionen und wie sie zusammenhängen, siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier . (Hier beziehen sich die Wörter On-Shell und Off-Shell darauf, ob die Bewegungsgleichungen (EOM) erfüllt sind oder nicht.)

II) OP denkt offenbar an die erste Option: Die Off-Shell-Action

die entlang (ggf. virtueller) Pfade ausgewertet werden können$q:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$, die Euler-Lagrange-Gleichungen (=EOM) nicht unbedingt erfüllen . Der Lagrange$L$ist typischerweise die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie, aber wir warnen davor, dass dies nicht der Fall sein muss, vgl. zB dieser Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

III) Man kann fragen: Warum betrachten wir virtuelle/unphysische Pfade, die EOM nicht unbedingt erfüllen?

Antwort: Aus mindestens zwei Gründen:

1. Man kann keine Euler-Lagrange-Gleichungen ableiten, ohne virtuelle Pfade zuzulassen, vgl. das Prinzip der stationären Wirkung .

2. In der Quantenmechanik tragen die virtuellen Pfade als Quantenfluktuationen zum Pfadintegral bei und haben physikalische Konsequenzen. (Sie sind z. B. für die Van-Vleck-Determinante in der semiklassischen Näherung über die Gaußsche Integration verantwortlich.)

IV) Siehe auch zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Die Aktion hat keine unmittelbare physikalische Interpretation, kann aber als erzeugende Funktion für eine kanonische Transformation verstanden werden; siehe zB http://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Jacobi_equation

Ich stimme Arnold mehr oder weniger zu und beschränke unsere Aufmerksamkeit auf die klassische Dynamik. In der Quantenmechanik (QM) und der Feldtheorie (QFT) ist die Aktion jedoch der natürliche Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsamplitude, um ein System von einer anfänglichen Konfiguration von Teilchen in QM oder Feldern in QFT fortzupflanzen. Feynman nutzte einen Kommentar von Dirac in seinem QM-Buch, der paraphrasierend die Exponentialfunktion von$-i \hbar S$hängt mit der Ausbreitungswahrscheinlichkeitsamplitude zusammen.

Das ist etwas weniger befriedigend als etwa die Interpretation von potentieller oder kinetischer Energie. Aber wenigstens ist es etwas.

Die Aktion ist eine Funktion von noch nicht definierten Funktionen$q(t)$und$\dot q(t)$so dass sein Minimum (oder ein stationärer Zustand$\delta S =0$) bestimmt eine Schar möglicher realer Bewegungen eines physikalischen Systems als allgemeine Lösungen von Differentialgleichungen. Die endgültige Auswahl einer realen Bewegung aus dieser Familie wird durch die Angabe einiger Endpunkte (oder häufiger - Anfangsbedingungen) bestimmt. Es legt die willkürlichen Konstanten fest und ergibt eine eindeutige Kurve.