Die Bedeutung von Handeln

Die Aktion$S$ist für den Laien kein bekanntes Objekt; Wenn man jedoch ernsthaft als Physiker arbeitet, wird es so wichtig und natürlich wie die Energie$H$. Daher ist die Aktion für den unerfahrenen Benutzer wahrscheinlich nicht intuitiv - und es gibt keinen Grund, sie zu verbergen -, aber sie ist wichtig für professionelle Physiker, insbesondere in der Teilchenphysik und der theoretischen Physik.

Die Aussage des OP, dass der Hamiltonian der Energie entspricht, ist eine leere Tautologie, da der Hamiltonian ein technisches Synonym für Energie ist. Genauso könnte man sagen, dass die Aktion intuitiv mit Wirkung (ein deutscher Name) übereinstimmt, weil es auch dasselbe ist. Da es jetzt zwei Namen hat, wird es natürlicher :-) und das OP könnte die Energie auch dafür verantwortlich machen, "unnatürliche" Aktionseinheiten pro Zeiteinheit zu haben. Mit anderen Worten, die Frage geht davon aus, dass Energie (und ihre Einheit) grundlegender und intuitiver ist als die Aktion (und ihre Einheit) - daher sollte es nicht überraschen, dass das OP anhand seiner Annahmen auch die Schlussfolgerung "ableiten" kann, dass Die Energie ist grundlegender und intuitiver als die Handlung. ;-)

Aber ist die Annahme = Schlussfolgerung richtig? Nun, Energie ist intuitiv, weil sie konserviert wird, und die Aktion ist intuitiv, weil sie minimiert wird – es gibt also keinen qualitativen Unterschied in ihrer Bedeutung.

Der einzige Unterschied besteht natürlich darin, dass Nicht-Physiker den Gebrauch der Aktion überhaupt nicht lernen. Die Energie kann man sich als „Kartoffeln“ vorstellen, die jeder machen kann; die handlung ist eine abstrakte partitur über die geschichte, die erst dann brauchbar ist, wenn wir beginnen, daraus differenzialgleichungen abzuleiten - was sich kaum ein laie vorstellen kann. Wenn die Erfahrung des Laien mit einem Konzept misst, ob etwas "intuitiv" ist, dann ist die Handlung einfach weniger intuitiv und es gibt keinen Grund, etwas anderes vorzutäuschen. Physiker lernen jedoch, dass es in gewissem Sinne grundlegender ist als die Energie.

Nun, der Hamilton-Operator ist die Schlüsselformel, die die Zeitentwicklung im Hamilton-Bild definiert, während die Aktion die Schlüsselformel ist, um die Evolution im schöneren, kovarianten „Raumzeit“-Bild zu definieren, weshalb HEP-Physiker sie ständig verwenden.

Was die Aktion im Allgemeinen ist

Ansonsten ist der Hauptzweck der Aktion das Prinzip der kleinsten Aktion , das jeder lernen sollte, wenn er etwas über die Aktion selbst wissen möchte.

Historisch gesehen verallgemeinerte dieses Prinzip – und das Konzept der Aktion – verschiedene Regeln für die Lichtstrahlen, die die Zeit minimieren, um irgendwohin zu gelangen, und so weiter. Es macht keinen Sinn, etwas über eine Größe zu lernen, ohne etwas über die definierende "Anwendung" zu lernen, die sie in der Physik wichtig macht. Energie ist so definiert, dass sie immer dann erhalten bleibt, wenn die Naturgesetze zeittranslationssymmetrisch sind; und Handlung ist definiert als alles, was durch die Geschichte minimiert wird, die das System letztendlich braucht, um denselben Gesetzen zu gehorchen.

Die Energie ist eine Eigenschaft eines Systems zu einem festen Zeitpunkt - und weil sie normalerweise erhalten bleibt, hat sie zu allen Zeitpunkten die gleichen Werte. Andererseits ist die Aktion nicht mit dem Zustand eines physischen Objekts verbunden; es ist mit einer Geschichte verbunden.

Es gibt einen Punkt, den ich noch einmal betonen muss. Für bestimmte Systeme können bestimmte "definierende" Formeln für den Hamilton-Operator oder die Aktion existieren, wie z$E=mv^2/2$oder$S = \int dt(mv^2/2-kx^2/2)$. Sie sind jedoch nicht die universellsten und gültigsten Definitionen der Konzepte. Diese Formeln erklären nicht, warum sie auf diese besondere Weise gewählt wurden, wofür sie gut sind und wie sie in anderen Systemen verallgemeinert werden können. Und man sollte sich nicht wundern, dass man aus diesen Formeln für die richtigen Bewegungsgleichungen ableiten kann$H$oder$S$.

Stattdessen ist die Energie allgemein so definiert , dass sie aufgrund der Zeit-Translations-Symmetrie erhalten bleibt; und die Aktion ist so definiert , dass die Bedingung$\delta S = 0$(Stationarität der Aktion) ist äquivalent zu den Bewegungsgleichungen. Dies sind die allgemeinen Bedingungen, die die Begriffe im Allgemeinen definieren und sie wichtig machen; besondere Formeln für die Energie oder Wirkung sind nur besondere Anwendungen der allgemeinen Regeln.

Im obigen Text sprach ich von klassischer, dh Nicht-Quanten-Physik. In der Quantenphysik wählt die Aktion nicht die einzig erlaubte Geschichte aus; stattdessen berechnet man die Wahrscheinlichkeitsamplituden als Summen über alle Historien gewichtet mit$\exp(iS/\hbar)$was sich leicht auf die klassischen Vorhersagen in der klassischen Grenze reduzieren lässt. Eine stationäre Handlung einer Geschichte bedeutet, dass die benachbarten Geschichten eine ähnliche Phase haben und sich konstruktiv gegenseitig beeinflussen, wodurch die klassisch erlaubte Geschichte wichtiger als andere wird.

Hier kommt der Versuch einer intuitiven Analogie:

Sie müssen den Klassiker „Der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist eine gerade Linie“ in der euklidischen Geometrie gehört haben.

Das Aktionsintegral ist analog zum Abstand in den verallgemeinerten Koordinaten des untersuchten Systems. Seine Minimierung ergibt den kürzesten Weg im Konfigurationsraum vom Zeitpunkt t1 zum Zeitpunkt t2 und wird als Prinzip der kleinsten Wirkung bezeichnet. Ihre Anwendung führt direkt zu den Lagrange-Gleichungen, aus denen die Bewegungsgleichungen des Systems abgeleitet werden.

Kapitel 2 von H. Goldsteins „klassischer Mechanik“ (im Internet verfügbar) ist eine gute Einführung in dieses und in die Variationsprinzipien.

Als Laie kann ich nicht zu viel anbieten, aber ich kann anbieten, wie ich über Action denke.

Der Hauptunterschied zwischen dem Hamilton-Operator und dem Lagrange-Operator in der klassischen Mechanik besteht darin, dass der Hamilton-Operator (H) die Summe aus kinetischer Energie (T) und potentieller Energie (V) ist, während der Lagrange-Operator (L) die Differenz ist:

Im Falle einer einfachen harmonischen Bewegung (z. B. eines Masse-Feder-Systems) können wir die folgenden Gleichungen für die verschiedenen Energiearten verwenden:

Ich würde Sie auf die meisten elementaren Texte verweisen, aber die Lösung für die Position als Funktion der Zeit für das beschriebene einfache harmonische System lautet:

und für Geschwindigkeit:

Einstellung$A = 2$, Und$m=k=1$Wir können den folgenden Graphen über die Zeit zeichnen:

In diesem Diagramm ist der hervorgehobene Bereich, der Bereich unter der von der Lagrange-Kurve gezeichneten Kurve, die Aktion. Die Fläche unter der Kurve hängt vom interessierenden Intervall ab (für ganzzahlige Vielfache der Wellenperiode und für unendliche Zeit wäre die Aktion jedoch gleich Null [siehe Anmerkung]). In jedem Fall sollte dies einen intuitiven Begriff für Aktion und für das Konzept einer Funktion geben ... die Fläche unter der Kurve für ein bestimmtes Intervall ist eine Zahl, die durch das Integral einer Funktion bestimmt wird:

Wenn es um das Prinzip der kleinsten Wirkung geht (wie von anderen diskutiert), legen wir fest:

Dies geschieht durch Berücksichtigung der Auswirkungen einer infinitesimalen Positionsänderung$\epsilon$so dass$x$wird$x+\epsilon$(Ich verweise Sie auf Kapitel 2 von Quantum Field Theory Demystified für eine gute Diskussion darüber).

In jedem Fall ist das Ziel, dass die gewünschte Gleichung (Newtons Bewegungsgleichung oder was ich gerne als Kraftgleichung betrachte) eine ist, die die erfüllt$\delta S = 0$Einschränkung, die in diesem Beispiel dazu führt, dass der Wert der Aktion (die Fläche unter der Kurve) konstant bleibt.

Ich hoffe, das hilft, ich werde bei Bedarf weitere Inhalte bearbeiten.

[Anmerkung: Ich würde hinzufügen, dass man, wenn man schlau ist, den Halbzyklus unendlich lang machen kann, was die Aktion im Fall eines SHO ungleich Null machen würde.]

Die Aktion ist eine Funktion der oberen Integrationsgrenze (wenn$L(t)$angegeben ist), wächst also von Null an, wenn$t_2$geht immer weiter weg$t_1$. Handeln ist in diesem Sinne ein „Maßstab für Veränderung“.

Aber normalerweise berechnen wir die Auslösewerte nicht mit eingesetzten Lösungen$L$. Aktion ist eine Funktion möglicher Trajektorien vor dem Variieren$q(t)$Und$\dot{q} (t)$. Bevor Sie variieren,$q(t)$Und$\dot{q} (t)$sind beliebige, nicht spezifische Lösungen von Gleichungen.

Ein intuitives Verständnis von Handeln könnte folgendes sein: Auf realen Pfaden mag seine Wachstumsrate minimal sein, aber das ist leider nicht der Fall. Stattdessen haben wir den geringsten Handlungsbedarf:$\delta S = 0$zwischen zwei Fixpunkten.