Stress-Energie-Tensor des elektromagnetischen Feldes mit Quellen

Für eine externe Quelle$j^\mu$, könnten wir den Spannungs-Energie-Tensor auf die übliche eichinvariante Weise definieren als

$$T^{\mu\nu}(x)\sim \frac{1}{\sqrt{|g|}}\,\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)} \tag{1}$$ die Aktion nutzen $$S\sim\int d^4x\ \sqrt{|g|} \left(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} +A_\mu j^\mu \right).$$ mit einem generischen Metrikfeld$g_{\mu\nu}$. (Ich mache mir hier keine Sorgen um die Koeffizienten, da diese Details für die Frage nicht wichtig sind.) Um die Aktionsanzeige unveränderlich zu halten, sollte die externe Quelle zufriedenstellend sein $$\partial_\mu \, \sqrt{|g|}\, j^\mu=0. \tag{2}$$ Wenn der Strom auf ein anderes dynamisches Feld zurückzuführen ist und nicht von außen auferlegt wird, können wir den gleichen Ansatz verwenden, indem wir dieses andere dynamische Feld in die Aktion einbeziehen. Zum Beispiel könnten wir das System mit Lagrange betrachten $$L\sim F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+ (D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi),$$ Wo$\phi$ist ein Skalarfeld und$D_\mu\sim\partial_\mu+iA_\mu$. Dann können wir wieder Gleichung (1) verwenden, um den Spannungs-Energie-Tensor abzuleiten, der nun von beiden Feldern abhängt$A_\mu$Und$\phi$. Dies ist der Spannungs-Energie-Tensor, der in die übliche Einstein-Feldgleichung gehört$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\sim T_{\mu\nu}$, und es wird in dem Sinne konserviert, dass$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$. Um das Skalarfeld zu beziehen$\phi$zum Strom$j^\mu$, können wir die Bewegungsgleichung für das Eichfeld schreiben$A_\mu$als $$\frac{\delta S}{\delta A_\mu}=0,$$ die in das Formular geschrieben werden können $$\partial_\mu F^{\mu\nu}\sim j^\nu$$ (im einfachsten Fall einer flachen Metrik). Dies definiert den Strom$j^\nu$in Bezug auf das Skalarfeld$\phi$.

Wir könnten den Spannungs-Energie-Tensor auch definieren, indem wir uns auf den Satz von Noether berufen, aber dann bleibt uns der zusätzliche Schritt, herauszufinden, wie wir ihn eichinvariant machen können, ohne seine Erhaltung zu stören. Ich habe hier die metrische Definition verwendet, weil sie automatisch eicheninvariant ist – solange der externe Strom, falls vorhanden, Gleichung (2) erfüllt.

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Anhang

Der oben skizzierte Ansatz verwendete eine willkürliche (variable) Metrik. Dies ist notwendig, um die Variation der Aktion in Bezug auf die Metrik zu definieren. Nachdem die Variation berechnet wurde, können wir die Metrik beliebig einstellen, z. B. die Minkowski-Metrik.

Aber was ist die Begründung dafür? Wenn wir uns nur um die Flat-Space-Time-Version kümmern, warum sollten wir dann vorübergehend willkürliche Metriken berücksichtigen?

Die üblichen Motive für die Betrachtung des Spannungs-Energie-Tensors sind (1) er ist erhalten ($\nabla_a T^{ab}=0$) und (2) es taucht in der Einstein-Feldgleichung auf. Wenn wir keine allgemeine Relativitätstheorie machen, dann gilt Motiv Nr. 2 nicht, aber Motiv Nr. 1 gilt immer noch. Wir können uns vorstellen, dass das Flat-Space-Modell nur ein Mitglied einer Familie von Modellen mit unterschiedlichen Hintergrundmetriken ist, und dieser ganze Satz von Modellen ist unter Diffeomorphismen invariant, obwohl die einzelnen Modelle (jeweils mit einer bestimmten Metrik) dies nicht sind. Diese "kollektive" Version der Diffeomorphismusinvarianz ist ausreichend, um das Erhaltungsgesetz abzuleiten$\nabla_a T^{ab}=0$, solange wir mit einer Wirkung beginnen, die unter Diffeomorphismen (kollektiv) invariant ist. Dieses Erhaltungsgesetz gilt für jede Hintergrundmetrik, einschließlich der flachen Raumzeit. Die Allgemeingültigkeit dieses Ergebnisses rechtfertigt das Nachdenken$T^{ab}$als etwas, das jedes Modell "hat", genau wie die Allgemeingültigkeit des Satzes von Noether es rechtfertigt, diese Erhaltungsgrößen als Dinge zu betrachten, die jedes Modell "hat" (wenn genügend Symmetrie vorhanden ist).

Aber warum ist das dann$T^{ab}$erhalten wir aus dem metrisch variierenden Rezept konsistent mit der$T^{ab}$wir von Noethers Theorem in der flachen Raumzeit erhalten? Noethers Therem scheint nichts mit dem metrisch variierenden Rezept zu tun zu haben. Ich habe noch kein klares Verständnis von dieser Verbindung, aber vielleicht hängt es damit zusammen, dass wir Noethers Theorem zur Definition verwenden$T^{ab}$Als konservierte Größe, die mit den Symmetrien der flachen Raumzeit verbunden ist, verlassen wir uns immer noch auf eine mathematische Symmetrie – nicht auf die vollständige Diffeomorphismusgruppe, aber auf einen Teil davon. Ich möchte diesen Zusammenhang gerne klarer verstehen.