Ableitung der gesamten Elektrodynamik aus einer einzigen Aktion

Präambel

Die Wirkung für ein relativistisches Ladungsteilchen$m$und aufladen$q$sich in einem äußeren elektromagnetischen 4-Potential bewegen$A^\mu$Ist

$$\mathcal S_p[y]=-\int_{a}^{b}\left(mc+\frac q c A_\mu(y)\frac {dy^\mu} {ds} \right)ds$$ Wo $a,b\in\mathbb R^{1,3}$, Und $y$ist die Bahn des Teilchens in der Raumzeit. Aus $\delta \mathcal S_p=0$leitet man die Lorentz-Gleichung her: $$mc\frac {d^2y^\mu}{ds^2}=\frac q c F_{\mu \nu} \frac {dy^\nu}{ds}$$ Wo $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ist das elektromagnetische Feld.

Die Aktion für das elektromagnetische Feld, das von einem 4-Strom erzeugt wird$j^\mu$Ist

$$\mathcal S_f[A]=-\int_{\Sigma_1}^{\Sigma_2}\left (\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_\mu j^\mu\right)d^4x$$ Wo $\Sigma_1$Und $\Sigma_2$sind raumähnliche Flächen in der Raumzeit. Aus $\delta \mathcal S_f=0$man leitet die Maxwell-Gleichungen ab: $$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$$

Frage

Gibt es eine Möglichkeit, eine Aktion zu schreiben, die sowohl vom Teilchenpfad als auch vom elektromagnetischen 4-Potential abhängt und deren Extrema alle und nur sind?$A$Und$y$die sowohl die Lorentz- als auch die Maxwell-Gleichung erfüllen? (Bei letzterem sollte der 4-Strom durch ersetzt werden$j^\mu(x)=\int q \frac {dy^\mu} {ds}\delta^4(x-y(s))ds$.)

Teilantwort

In Lechners Buch schreibt der Autor folgende Handlung:

$$\begin{align}\mathcal S[A,y]&=\mathcal S_1[A]+\mathcal S_2[y]+\mathcal S_3[A,y]=\\&=-\int_{\Sigma_1}^{\Sigma_2}\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}d^4x-\int_a^bmcds-\int_{\Sigma_1}^{\Sigma_2}A_\mu j^\mu d^4x\end{align}$$ und da $\mathcal S_2[y]$hängt nicht davon ab $A$, er bemerkt, dass das Feld $A$minimiert $\mathcal S_1[A]+\mathcal S_3[A,y]=\mathcal S_f[A]$gw Maxwell-Gleichungen erfüllt sind. In ähnlicher Weise seit $\mathcal S_1[A]$hängt nicht davon ab $y$, der Weg $y$minimiert $\mathcal S_2[y]+\mathcal S_3[A,y]=\mathcal S_p[y]$genau dann, wenn die Lorentz-Gleichung erfüllt ist.

Aber schließt er damit nicht die Möglichkeit aus, dass$A$Und$y$könnte gleichzeitig die Aktion minimieren, die die Summe der drei Terme ist?