Physikalische Interpretation des EM-Feld-Lagrange

Ich frage mich, ob es möglich ist, unter Verwendung von Differentialformen und ihren Bildinterpretationen eine schöne geometrische und physikalische Motivation für die Form der elektromagnetischen Lagrange-Dichte zu geben?

Die Lagrangedichte für das elektromagnetische Feld ohne Stromquellen in Bezug auf Differentialformen ist$F \wedge * F$, wo$F$ist die äußere Ableitung eines 4-Potentials$A$. Eine andere Art, dies zu sagen, ist das$F$ist die vierdimensionale Locke eines 4-Potentials$A$, dh der antisymmetrische Teil des Flusses der Determinante der Jacobi-Zahl eines Vektorfeldes $A$, und da wir die Kräuselung eines Vektorfeldes physikalisch als die augenblickliche Drehung der Volumenelemente interpretieren können, die$A$wirkt, scheint es, als könnten wir unterschiedlich interpretieren$F \wedge * F$indem wir sagen, dass wir versuchen, das momentane vierdimensionale Rotationsvolumen des elektromagnetischen Felds zu minimieren (da das Hodge-Dual auf 2-Formen 2-Formen "senkrecht" zu unseren ursprünglichen ergibt, ergibt das Verkeilen einer Form mit ihrem Dual eine 4-d-Volumen , also erhalten wir hier die Drehung eines Volumenelements in der Raumzeit).

Ist das korrekt?

Es gibt auch das Problem, die gleiche Aktion nur in verschiedenen Räumen zu definieren, using$F_{ij}F^{ij}$und so muss es eine ähnliche Interpretation geben ... Wenn ich interpretiere$F_{ab}$wie ich interpretiert habe$F$oben, dh eine 4-d-Curl, und$F^{cd}$ähnlich nur im dualen Raum, dann muss ich, um daraus einen Skalar zu bekommen, die Spur des Matrixprodukts nehmen $F_{ab}F^{cd}$, was mir scheint, als ob es als Divergenz des Rotationsvolumens interpretiert werden kann, wodurch die Minimierung der Wirkung zu sagen scheint, dass wir den Rotationsfluss pro Volumeneinheit minimieren.

Ist das richtig?

Wenn diese Interpretationen in irgendeiner Weise gültig sind, kann jemand eine ähnliche Interpretation für die vorschlagen$A_idx^i$Term im Lagrange, entweder wenn wir das Lorentz-Kraftgesetz oder die anderen Maxwell-Gleichungen erhalten? Vage darüber nachzudenken, diesen Begriff in Bezug auf Strom zu interpretieren und Maxwells Gleichungen zu erhalten, deutet darauf hin, dass das, was ich oben geschrieben habe, zumindest eine gewisse Gültigkeit hat!

Interessanterweise würde ich mir vorstellen, dass all dies, wenn es richtig ist, eine fantastische globale Interpretation in Bezug auf Faserbündel hat, wenn jemand eine interessante Beziehung sieht.

(Auf Seite 9 dieses PDFs erhalte ich diese Interpretation von Divergenz und Kräuselung über den Jacobi, und ich mische sie mit der geometrischen Interpretation von Differentialformen ala MTWs Gravitation.)

Ich verstehe Landaus mathematische Ableitung der$F_{ij}$Feldtensor, Lorentz-invarianter Skalar bzgl. des Minkowski-Innerprodukts, Linearität des EOM und Beseitigung der direkten Abhängigkeit von den Potentialen, aber physikalische Motivation für seine Form fehlt. Da kann man Minimierung locker interpretieren$\mathcal{L} = T - V$als Minimierung des Überschusses an kinetischer über potentieller Energie über den Weg eines Teilchens und für ein freies Teilchen als einfache Minimierung der Energie, sehe ich nicht ein, warum eine lose Interpretation des EM-Lagrange nicht gegeben werden kann. Alle Gedanken sind willkommen.

Verweise:

1. Math 733: Vektorfelder, Differentialformen und Kohomologie, Vorlesungsunterlagen, R. Jason Parsley
2. Warnick, Selfridge, Arnold - Lehre der Theorie elektromagnetischer Felder unter Verwendung von Differenzformen