Lagrange-Dichte für die Lorentz-Kraft der kontinuierlichen Ladungsverteilung im externen Feld?

Es ist häufig eine Übung, das Lorentz-Kraftgesetz für ein geladenes Teilchen herzuleiten Q in einem externen elektromagnetischen Feld, das durch die folgende Lagrange-Funktion gegeben ist:

L = − M C 2 1 − R ˙ 2 C 2 − Q ϕ + Q R ˙ ⋅ A

Was zum relativistischen Lorentzkraftgesetz führt:

F = D D T ( M R ˙ 1 − R ˙ 2 C 2 ) = Q ( E + R ˙ × B )

Für kontinuierliche Verteilungen haben wir:

F = ρ E + J × B

Ich versuche, die entsprechende Lagrange-Dichte zu finden, die zu dieser Kraft führt. Ich weiß, wenn die Ladungsverteilung als Quelle behandelt wird, können Sie die Standard-Lagrange-Dichte für Elektromagnetismus verwenden, aber dies ergibt nicht die Lorentz-Kraftgleichung. In meinem speziellen Fall ignoriere ich jedoch das Eigenfeld der Ladungsverteilung, die Felder sind rein extern, ich brauche die Lagrange-Dichte des Elektromagnetismus für mein Problem nicht. Naiv könnte man alle Instanzen von ersetzen M mit einem Massendichteterm, ρ M , und alle Instanzen von Q mit einem Ladungsdichteterm, ρ Q , Wo J = ρ Q R ˙ .

L = − ρ M C 2 1 − v ( R , T ) 2 C 2 − ρ Q ϕ + ρ Q v ( R , T ) ⋅ A = − ρ M C 2 1 − v ( R , T ) 2 C 2 − ρ Q ϕ + J ⋅ A

Allerdings sind die Dichten auch eine Funktion der Koordinaten und außerdem stehen die Massendichten und Ladungsdichten in unbekannter Weise miteinander in Beziehung. Wenn wir davon ausgehen, dass alle unsere Teilchen Elektronen sind, können wir die Dichten durch die Elektronenmasse und -ladung skalieren. Wenn wir die Variation dieser Lagrange-Dichte in Bezug auf die Ladungsdichte nehmen, erhalten wir Folgendes:

D D T ∂ L ∂ ρ ˙ + D D X ∂ L ∂ ρ X + D D j ∂ L ∂ ρ j + D D z ∂ L ∂ ρ z = ∂ L ∂ ρ

Die LHS ist eindeutig Null, da wir in unserer Lagrange-Dichte keine Abhängigkeit von Ableitungen der Dichte haben. Die RHS gibt uns nur:

0 = − M C 2 e 1 − R ˙ 2 C 2 − ϕ + v ( R , T ) ⋅ A

Diese Lagrange-Dichte ist also eindeutig nicht korrekt, oder wir sollten in Bezug auf die Dichte nicht variieren. Ebenso kann man die Variation in Bezug auf das Geschwindigkeitsfeld nehmen, aber auch dies führt nicht zur richtigen Gleichung. Ich habe das Gefühl, dass ich hier ein grundlegendes Missverständnis habe, aber ich kann keine Referenz finden, die dies durchsetzt. Was ist die richtige Lagrange-Dichte? Was ist die richtige Menge, um die Aktion zu variieren?

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v3):

  1. OP fragt im Wesentlichen nach der Lagrange-Feldtheorie-Formulierung einer relativistischen Flüssigkeit in einem externen elektromagnetischen Hintergrund A μ .

  2. Die Fluiddynamik hat sowohl ein Lagrange- als auch ein Eulersches Bild . (Beachten Sie, dass das Wort Lagrange in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet wird.) Im relativistischen Kontext gibt es auch das Problem einer offensichtlich Lorentz-invarianten Formulierung.

  3. Hier ist die einfachste Lagrangesche Lagrangesche relativistische Formulierung (mit Lorentz-Symmetrie, aber ohne manifeste Lorentz-Symmetrie). Dies läuft im Wesentlichen darauf hinaus, diskrete Summen in der Punktmechanik durch kontinuierliche Integrale in der Feldtheorie zu ersetzen. Wir setzen die Lichtgeschwindigkeit C = 1 der Einfachheit halber auf eins. Das 3-stellige Feld R : R 3 × R → R 3 hängt von einer kontinuierlichen Markierungsvariablen ab A ∈ R 3 und Zeit T ∈ R . Die Aktion wird

    (1) S [ R ]   =   ∫ D T   D 3 A   L ( R ( A , T ) , v ( A , T ) , A , T ) | v = R ˙ ,
    wo die Lagrange-Dichte ist
    (2) L ( R ( A , T ) , v ( A , T ) , A , T )   =   − μ ( A ) γ ( v ( A , T ) ) − ρ ( A )   ϕ ( R ( A , T ) , T ) + ρ ( A )   v ( A , T ) ⋅ A ( R ( A , T ) , T ) ,
    und wo
    (3) γ ( v )   :=   1 1 − v 2
    ist der Gammafaktor. Die Ruhemasse M ( Ω ) und die Ladung Q ( Ω ) in einer Region Ω ⊆ R 3 der Beschriftung 3-Raum ist gegeben durch
    (4) M ( Ω )   =   ∫ Ω D 3 A   μ ( A ) Und Q ( Ω )   =   ∫ Ω D 3 A   ρ ( A ) ,
    bzw.

  4. Die Eulersche Formulierung ist komplizierter (bereits im nicht-relativistischen Fall) wegen der Bezeichnung Eichsymmetrie, vgl. zB dieser Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Referenzen. Wenn es die Zeit erlaubt, werde ich die Eulersche Formulierung in einem zukünftigen Update explizit niederschreiben.

Ich verstehe, ich hatte die Ansicht der Lagrange-Flüssigkeit in Betracht gezogen, aber das Positionsfeld nicht gecastet R als Funktion des Konfigurationsvektors A . Als solches war mein Lagrangian Unsinn mit inkonsistenten Verweisen auf jeden Vektor. Dies ist absolut sinnvoll, da der Positionsvektor jetzt selbst ein Feld ist und eindeutig der Parameter ist, in Bezug auf den die Aktion variiert werden sollte. Danke für die knappe und klare Antwort. Ich wäre neugierig, die Eulersche Form zu sehen, wenn Sie Zeit haben, aber Sie haben meine Frage bereits zufriedenstellend beantwortet, und ich werde nicht beleidigt sein, wenn Sie dies nicht tun.
Wenn ich mich nicht irre, wenn Sie zulassen, dass sich die Dichten auch zeitlich ändern, hat die resultierende Kraftgleichung eine explizite Abhängigkeit vom Vektorpotential as − ρ ˙ A , richtig? Gibt es einen Grund, warum Sie die Dichten in der Zeit festgelegt haben, ist es nicht richtig, sie auch zeitabhängig zu machen?
Die Massen- und Ladungsdichten, μ ( A ) Und ρ ( A ) , nicht abhängen T im Lagrange-Bild.
Ah richtig, müsste man in Bezug auf sie ausdrücken R ihre Abhängigkeit zu bekommen. Mein Fehler.
Lagrange-Dichte für die Lorentz-Kraft der kontinuierlichen Ladungsverteilung im externen Feld?
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