Variationsform der Eulerschen inkompressiblen Flüssigkeitsgleichungen?

Ich versuche , Eulers inkompressible Flüssigkeitsgleichungen in Bezug auf ein Variationsstationäres Prinzip abzuleiten . Gegeben Eulers Strömungsgleichungen:

∂ v ∂ T = − ∇ P

∇ ⋅ v = 0

Beginnend mit einem Lagrange-Operator, der aus der kinetischen Energie und der Kontinuitätsbeschränkung (divergenzfreie Geschwindigkeit) besteht:

L = ∫ Ω 1 2 | v | 2 − P ( ∇ ⋅ v )

Kann man einfach die Euler-Lagrange-Gleichungen anwenden:

D dt ∂ L ∂ v − ∂ L ∂ X = 0

um auf die Euler-Gleichungen zu kommen? Soweit ich weiß, ist das durchaus möglich, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Wie differenzieren Sie insbesondere den Divergenzoperator in Bezug auf v , X ?

Ich hoffe, sie können von dieser einfachen Form abgeleitet werden ( L = T − v ), ohne einige der abstrakteren, geometrischen Methoden aufzurufen, zB: Arnold.

Das nächste, was ich gesehen habe, ist Lukes Variationsprinzip, aber das ist nicht so allgemein. Referenzen willkommen.

(Frage von math.stackexchange.com verschoben)

Ähm... Bist du dir sicher mit der ersten Gleichung? Erstens stimmen die Einheiten nicht überein, L / T 2 = M / ( T 2 L 2 ) (?). Woher kommt auch der Advektivbegriff ( u ⋅ ∇ u ) gehen? Oder hat das etwas mit der Lagrange-Formulierung zu tun?
@ user3823992: Ich stimme zu, die erste Gleichung sollte geschrieben werden als D T v = − ( ∇ P ) / ρ Wo D T ist die Gesamtableitung.
Im Allgemeinen ist die Lagrange-Funktion ( L = T − v ) in Euler-Lagrange-Gleichungen muss keine Standardgleichung sein (bei der das Potential nur von der Position abhängt X ). In vielen Fällen gibt es verallgemeinerte Potentiale (dh abhängig von der Geschwindigkeit, aber so, dass EL-Gleichungen mit einem verallgemeinerten Lagranagian gelten L = T − v G ), Beispiel: Lagrange des Elektromagnetismus

Antworten (1)

Hier nehmen wir an, dass OP hauptsächlich am Eulerschen Flüssigkeitsbild interessiert ist (im Gegensatz zum Lagrangeschen Flüssigkeitsbild). Beide Flüssigkeitsbilder werden ausführlich in Lit. diskutiert. 1.

Beachten Sie jedoch, dass in den Methoden von Ref. 1, die Massendichte ρ ist eine dynamische Variable. Die Variation von ρ ist wichtig, um einen vollständigen Satz von eoms zu erhalten. OP fragt jedoch speziell nach inkompressiblen Flüssigkeiten, was konstant bedeutet ρ (genauer entlang von Bahnlinien, vgl. die Kontinuitätsgleichung).

In Lukes Variationsprinzip , das OP erwähnt, anstatt zu variieren ρ , man variiert bzgl. eine freie Oberfläche, die nicht ausreicht, um Masseneoms abzuleiten.

Alternativ die Euler-Fluidgleichungen für konstant ρ kann als Spezialfall von Euler-Poincare (EP)-Gleichungen angesehen werden, die eine Variationsformulierung haben, vgl. Ref. 2-4 und diesen Phys.SE-Beitrag. Mit einer Einschränkung. Denn anstatt die gesuchte Gleichung herzuleiten

D ( ρ u ) D T   =   − ∇ P ,

man leitet im Wesentlichen nur ab

∇ × D ( ρ u ) D T   =   0 ,

dh der Druck P tritt nicht in das Variationsprinzip ein.

Verweise:

  1. R. Salmon, Hamiltonsche Strömungsmechanik, Ann. Rev-Flüssigkeit. Mech. (1988) 225 . Die pdf-Datei kann von der Homepage des Autors heruntergeladen werden .

  2. VA Arnold und BA Khesin, Topologische Methoden in der Hydrodynamik, 1998; § 7.

  3. JE Marsden und TS Ratiu, Intro to Mechanics and Symmetry, 2. Auflage, 1998; Abschnitt 13.5.

  4. Terence Tao, Die Euler-Arnold-Gleichung , Blogpost 2010.

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