Strömungsmechanik nach einem Variationsprinzip

Dies ist der Grund für die Lagrange-Koordinaten in der Strömungsmechanik.

Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Impuls, so dass die Lagrange-Variationsbeschreibung die entsprechende Koordinate benötigt. Die entsprechende Koordinate ist die Karte, die Ihnen sagt, wo jedes Flüssigkeitsteilchen landet, wenn Sie der Strömung bis zum Zeitpunkt t folgen. Dies ist ein Diffeomorphismus, und die Hamiltonsche Formulierung bezieht sich auf einen Phasenraum aller Diffeomorphismen und seinen Tangentenraum, der die Geschwindigkeitsvektorfelder sind.

Die kinetische Energie ist nur das Integral des Quadrats der Geschwindigkeit, und es gibt einen Druck, der am besten eingebracht wird, indem die Einschränkung erzwungen wird, dass die Flüssigkeit durch Lagrange-Multiplikatoren inkompressibel ist (falls sie inkompressibel ist). Die Lagrange-Formulierung wird an vielen Stellen abgedeckt. Es ist rechnerisch nicht besonders praktisch, da der von einer Strömung erzeugte Diffeomorphismus völlig unmöglich zu bestimmen ist, und irrelevant, da die Diffeomorphismen eine homogene Gruppe sind.

VA Arnold hat diesen Gesichtspunkt in seinem Buch "Topologische Methoden in der Hydrodynamik" behandelt, das sehr gut ist und die Geometrie betont.

Nun, das ist ein riesiges Thema, vgl. zB Ref.-Nr. 1-2 und zB dieser Phys.SE Beitrag.

1. Das einfachste Wirkungsfunktional für die Fluiddynamik im Lagrange-Strömungsbild ist

   $$\begin{align} I[{\bf r}] ~=~&\int \!\mathrm{d}\tau~\mathrm{d}^3{\bf a}~{\cal L},\cr {\cal L}~=~&\frac{1}{2}\dot{\bf r}^2 - \varepsilon\left(\rho({\bf a})^{-1}, S({\bf a})\right) -\phi({\bf r} ,\tau)) .\end{align}\tag{2.6}$$ Hier${\bf r}={\bf r}({\bf a}, \tau)$sind die Position eines flüssigen Pakets ;${\bf a}$die Kennzeichnungskoordinate des Flüssigkeitspakets ist;$\varepsilon$ist spezifische innere Energie;$S$ist die spezifische Entropie; Und$\phi$ist eine bestimmte potentielle Energie. Seine EL-Gleichungen sind Newtons 2. Gesetz für die Flüssigkeit: $$\begin{align} -\ddot{\bf r}~\approx~&\rho^{-1}\nabla p +\nabla \phi, \cr p~:=~&\frac{\partial \varepsilon }{\partial (\rho^{-1})} .\end{align}\tag{2.11}$$

2. In der Praxis möchte man jedoch das Eulersche Strömungsbild verwenden . Dies führt eine Neukennzeichnungssymmetrie mit entsprechenden Einschränkungen ein. Siehe z. B. Refs. 1-2 für Einzelheiten.

Verweise:

1. R. Salmon, Hamiltonsche Strömungsmechanik, Ann. Rev-Flüssigkeit. Mech. (1988) 225 . Die pdf-Datei kann von der Homepage des Autors heruntergeladen werden .

2. RL Seliger & GB Whitham, Variationsprinzipien in der Kontinuumsmechanik, Proc. R. Soc. Lang. A305 (1968) 1 (Hutspitze: tpg2114 ).