Prinzip der kleinsten Wirkung – Fremdheit der numerischen Simulation

Question

Prinzip der kleinsten Wirkung – Fremdheit der numerischen Simulation

Aktion
Physik
Simulationen
lagrangescher Formalismus
Computerphysik
Variationsprinzip

Ruslan

Ich versuche, etwas Erfahrung mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung zu sammeln, und dafür habe ich ein einfaches eindimensionales Problem eines Teilchens ausgewählt, das sich in einem Feld bewegt. Das Prinzip der kleinsten Wirkung würde dann so aussehen:

\int_{T_{1}}^{T_{2}} (T (v) - U (X)) D T = Mindest

$\int_{t_1}^{t_2}(T(v)-U(x))dt=\min$

Also diskretisiere ich die Zeit in einige Punkte und versuche die Summe zu minimieren:

\sum_{ich = 1}^{N} (T (v_{ich}) - U (X_{ich})) Δ T .

$\sum_{i=1}^n (T(v_i)-U(x_i))\Delta t.$

Aber ich komme zu einigen seltsamen Ergebnissen: Erstens, wenn ich das System nicht beschränke, erscheint die Summe von unten unbegrenzt. Nun, es ist verständlich, weil es mehrere Lösungen geben kann, die unterschiedlichen Anfangs-/Randbedingungen entsprechen. OK, ich wähle einige Werte für $x_1$ Und $x_n$ als Einschränkungen. Aber auch die Summe scheint unbegrenzt. Nun, ich entscheide mich dann dafür, die mögliche Reichweite zu reduzieren $x_i$ , und die Summe kann schließlich minimiert werden ...

Aber das Ergebnis erscheint völliger Unsinn. Hier ist das Ergebnis für $n=10$ , $t_1=0$ , $t_2=1$ , $|x_i|<5$ :

Positionen

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Geschwindigkeiten

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hier scheinen die Geschwindigkeiten keine Positionsänderungen widerzuspiegeln.

Was fehlt mir hier? Sollte ich einige andere Einschränkungen hinzufügen oder habe ich einen einfachen Fehler gemacht?

adip

Vermutlich ist T(v) das übliche Quadrat

\frac{1}{2} m v^{2}

$\frac{1}{2}mv^2$ , aber was verwenden Sie für U(x)? Vielleicht versuchen Sie auch, unabhängig zu variieren

v_{i}, x_{i}

$v_i,x_i$ ohne Zwang

v = \frac{d x}{d t}

$v = \frac{dx}{dt}$ ?

Ruslan

@adipy Ich habe die Einstellung versucht

U = 0

$U=0$ zuerst, dann zu erkennen, dass es keinen Zwang ausübt

x_{i}

$x_i$ überhaupt, versucht

U = 1

$U=1$ ,

U = x^{2}

$U=x^2$ , ..., aber die Ergebnisse sind im Grunde die gleichen. Und in der Tat habe ich nicht so eine Einschränkung gesetzt wie

v = \frac{d x}{d t}

$v=\frac{dx}{dt}$ , da ich in den Büchern (nämlich Landau & Lifshitz "Mechanics") nie eine Diskussion über solche Einschränkungen gesehen habe. ich nahm an

x

$x$ Und

v

$v$ müssen unabhängig voneinander variieren.

QMechaniker

NEIN,

x

$x$ Und

v

$v$ in der Handlung abhängig sind. Weitere Einzelheiten finden Sie unter physical.stackexchange.com/q/885/2451

Ruslan

Hmm, danke @Qmechanic, dann scheint meine Frage ein Duplikat davon zu sein.

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Prinzip der kleinsten Wirkung – Fremdheit der numerischen Simulation

Vermutlich ist T(v) das übliche Quadrat $\frac{1}{2}mv^2$ , aber was verwenden Sie für U(x)? Vielleicht versuchen Sie auch, unabhängig zu variieren $v_i,x_i$ ohne Zwang $v = \frac{dx}{dt}$ ?
@adipy Ich habe die Einstellung versucht $U=0$ zuerst, dann zu erkennen, dass es keinen Zwang ausübt $x_i$ überhaupt, versucht $U=1$ , $U=x^2$ , ..., aber die Ergebnisse sind im Grunde die gleichen. Und in der Tat habe ich nicht so eine Einschränkung gesetzt wie $v=\frac{dx}{dt}$ , da ich in den Büchern (nämlich Landau & Lifshitz "Mechanics") nie eine Diskussion über solche Einschränkungen gesehen habe. ich nahm an $x$ Und $v$ müssen unabhängig voneinander variieren.
NEIN, $x$ Und $v$ in der Handlung abhängig sind. Weitere Einzelheiten finden Sie unter physical.stackexchange.com/q/885/2451
Hmm, danke @Qmechanic, dann scheint meine Frage ein Duplikat davon zu sein.

Ruslan · Answer 1

Wie in dieser Antwort gesagt , werden Geschwindigkeit und Position nicht unabhängig voneinander variiert. Tatsächlich verwenden wir bei der Ableitung von Euler-Lagrange-Gleichungen explizit die Tatsache, dass $\delta v=\frac d{dt}\delta x$ .

Also, wenn ich die Einschränkung hinzufüge $v_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t}$ , Angabe $x_1$ Und $x_n$ bleibt die einzige zusätzliche Sache, die zur Lösung konvergiert. Einstellung zum Beispiel $U=x^4-4x^3+4.5x^2$ , $x_1=0$ , $x_n=2.651$ Und $n=51$ , Ich bekomme:

Positionen:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Geschwindigkeiten:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hier ist der letzte Geschwindigkeitspunkt falsch, aber es ist ein Artefakt der Einschränkung: Ich habe eine rechtshändige Finite-Differenzen-Ableitung verwendet, die nicht erledigt werden kann $v_n$ . Dies kann behoben werden, indem ein anderes Differenzschema ausgewählt wird, aber für die Zwecke dieser Antwort ist dies ein unwichtiges Implementierungsdetail.

Was wichtiger ist, ist, dass, wenn wir wählen $x_n>2.651$ In diesem Beispiel erscheint die Aktion von unten unbegrenzt, selbst mit den richtigen Einschränkungen. Ich glaube, dass dies kein Problem mehr bei der Implementierung ist, sondern eher ein Ergebnis der Tatsache ist, dass die Aktion nur stationär sein muss, aber nicht minimal, so dass die Minimierung kein ausreichend gutes Verfahren ist, um eine echte Trajektorie zu erhalten.

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Ruslan

adip

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Ruslan

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