Wiederherstellung aller Maxwell-Gleichungen aus dem Variationsprinzip

Der Maxwell-Lagrangian ist gegeben durch:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

wo$F_{\mu\nu}$ist die Feldstärke des Eichfelds oder kann alternativ als Krümmung von a interpretiert werden$U(1)$Lie Algebra bewertete Verbindung,$A_{\mu}$. Durch Anwendung des Variationsprinzips erhalten wir

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$$

im Vakuum. In Bezug auf die elektrischen und magnetischen Felder,

$$\nabla \cdot \vec{E}=0 \quad \quad \partial_t \vec{E}=\nabla \times \vec{B}$$

wir stellen zwei von Maxwells Gleichungen wieder her. Beachten Sie, in differenzieller Formsprache,$F=dA$, dh die Krümmung ist eine exakte Form, und alle exakten Formen sind auch unter der Operation der äußeren Differenzierung abgeschlossen, dh

$$dF=d^2 A=0$$

Konvertieren des obigen Ausdrucks in eine Tensorgleichung unter Verwendung der Standarddefinition,

$$d\omega^{(n)}_{a_1 \dots a_n}=\frac{1}{n!} \left( \partial_{[a_1} \omega_{\dots a_n]}\right)$$

stellt die Tensorform der Bianchi-Identität wieder her,

$$\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$$

woraus die beiden verbleibenden Maxwell-Gleichungen folgen:

$$\nabla \cdot \vec{B}=0\quad \quad \partial_t \vec{B}=-\nabla\times \vec{E}$$

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Erinnern Sie sich angesichts der Spin-Verbindung$\omega$, nach Cartans zweiter Strukturgleichung ist die Krümmungsform

$$\mathcal{R}=d\omega + \omega \wedge \omega$$

Allerdings die Lie-Gruppe$U(1)$ist abelsch, und die Strukturkonstanten verschwinden, daher vereinfacht sich das Obige,

$$\mathcal{R}=d\omega$$

was völlig analog zur Definition der elektromagnetischen Feldstärke ist. Andere Messgerätegruppen besitzen möglicherweise nicht die gleiche Feldstärke. Zum Beispiel in der Quantenchromodynamik,$SU(3)$ist nicht-abelsch, und der zusätzliche Begriff verschwindet nicht; in Tensorform:

$$G_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + gf^{a}_{bc}A^{b}_\mu A^{c}_\nu$$