Klassische Elektrodynamik der kleinsten Wirkung ohne Potentiale

1) Nun, auf der klassischen Ebene können wir, wenn wir Hilfsvariablen einführen dürfen, immer trivial einen Satz von Bewegungsgleichungen codieren

$$\tag{1} {\rm eom}_i = 0, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$ auf Brute-Force-Weise mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren $$\tag{2}\lambda^i, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$ so dass die Lagrange-Dichte einfach lautet $$\tag{3}{\cal L}~=~\sum_{i=1}^n\lambda^i ~{\rm eom}_i.$$

Dies ist aus vielen Gründen keine sehr zufriedenstellende Lösung. (Besonders wenn wir beginnen, über quantenmechanische Aspekte nachzudenken. OP fragt jedoch nur nach klassischer Physik.) Nichtsdestotrotz veranschaulichen die obigen trivialen Umschreibungen (3), wie schwierig es ist, No-Go-Theoreme mit stichhaltigen Argumenten zu formulieren und zu beweisen.

2) Um fortzufahren, müssen wir zusätzliche Bedingungen an die Form des Aktionsprinzips stellen. Erstens, weil es uns verboten ist, Eichpotentiale einzuführen$A_{\mu}$Als fundamentale Variablen (die wir im Wirkungsprinzip variieren können) nehmen wir an, dass die fundamentalen EM-Variablen im Vakuum durch die gegeben sein sollten${\bf E}$und${\bf B}$Feld. Schon in reinem EM ist es unmöglich das zu bekommen$1+1+3+3=8$Maxwell-Gleichungen. (in Differentialform) als Euler-Lagrange-Gleichungen. indem man nur die variiert$3+3=6$Feldvariablen${\bf E}$und${\bf B}$. Wir müssten also auf die eine oder andere Weise zusätzliche Feldvariablen einführen.

3a) Es wird nicht besser, wenn wir versuchen, EM an Materie zu koppeln. Indem wir Ecken der Theorie entkoppeln, sollten wir in der Lage sein, wohlbekannte Spezialfälle wiederzufinden. Zum Beispiel im Fall von EM, das an geladene Punktteilchen gekoppelt ist, sagen wir in einer nicht-relativistischen Grenze, wo es kein EM-Feld gibt, sollte sich die Lagrange-Funktion einer einzelnen Punktladung auf die wohlbekannte Form reduzieren

$$\tag{4}L~=~\frac{1}{2}mv^2$$

eines freien Teilchens. Eine Diskussion von Gl. (4) findet sich zB in diesem Phys.SE Beitrag. Hier nehmen wir an, dass Gl. (4) gilt im Folgenden.

3b) Die nächste Frage ist, was in der Elektrostatik passiert

$$\tag{5} m\dot{\bf v}~=~ q{\bf E}?$$

Die Antwort ist bekannt

$$\tag{6} L~=~\frac{1}{2}mv^2 - V$$

mit potentieller Energie

$$\tag{7}V~=~ q\phi,$$

wo$\phi$ist das skalare elektrische Potential. Da ist es uns jedoch untersagt, das Potential einzubringen$\phi$als fundamentale Variable müssen wir sie interpretieren

$$\tag{8}\phi({\bf r})~:=~-\int^{\bf r} \!d{\bf r}^{\prime}\cdot{\bf E}({\bf r}^{\prime})$$

als Funktion des elektrischen Feldes${\bf E}$, das wiederum als Grundfeld angenommen wird. Beachten Sie, dass Gl. (6)-(8) entsprechen einer nichtlokalen Aktion.

3c) Die einfache Verallgemeinerung (von der Punktmechanik zur Feldtheorie) von Gl. (7) ist eine Potentialdichte

$$\tag{9}{\cal V}~=~ \rho\phi,$$

wo$\rho$ist eine elektrische Ladungsdichte. Leser, die mit dem üblichen Aktionsprinzip für Maxwells Gleichungen vertraut sind. werden erkennen, dass wir sehr nahe daran sind zu argumentieren, dass der Wechselwirkungsterm zwischen reinem EM und Materie die Form haben muss

$$\tag{10} {\cal L}_{\rm int}~=~J^{\mu}A_{\mu},$$

auch wenn wir noch nicht darüber gesprochen haben, was den Standard-Lagrange ersetzen soll

$$\tag{11} {\cal L}_{\rm EM} ~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

für reine EM.

3d) Bleiben wir in der Elektrostatik und denken wir über unsere Aussichten nach, das Gaußsche Gesetz in Differentialform abzuleiten

$$\tag{12} \nabla \cdot {\bf E} ~=~ \rho.$$

Offensichtlich die rechte. der einzelnen Gl. (12) sollte durch Variation der Potentialdichte (9) bzgl. einer der drei $E$Felder, aber welches? Die Zählung stimmt nicht. Und weil Gl. (9) ist nicht lokal, wir bekommen auf jeden Fall eine integrierte Version davon$\rho$eher, als$\rho$selbst, das auf der rechten Seite erscheint. von Gl. (12), die wir reproduzieren wollten.

3e) Zusammenfassend erscheint es aussichtslos, eine EM-Theorie (mit${\bf E}$und${\bf B}$als fundamentale Variablen) zur Materie und reproduzieren klassische Standardgleichungen. der Bewegung.

4) Das Standardmittel ist die Einführung$4$(global definierte) Eichpotentiale$A_{\mu}$als fundamentale Variablen. Das macht$1+3=4$quellenlose Maxwell-Gl. trivial, und die restlichen$1+3=4$Maxwell-Gleichungen. mit Quellen können durch Variieren wrt abgeleitet werden. der$4$grundlegende Variablen$A_{\mu}$.

Zum Beispiel die standardmäßige (spezielle relativistische) Aktion für EM gekoppelt an$n$massive Punktladungen$q_1, \ldots, q_n$, an Positionen${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n$, wird angegeben als

$$\tag{13} S[A^{\mu}; {\bf r}_i] ~=~\int \! dt ~L,$$

wo der Lagrange ist

$$\tag{14} L ~=~ -\frac{1}{4}\int \! d^3r ~F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\sum_{i=1}^n \left(\frac{m_{0i}c^2}{\gamma({\bf v}_i)} +q_i\{\phi({\bf r}_i) - {\bf v}_i\cdot {\bf A}({\bf r}_i)\} \right).$$

Die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen. sind$4$Maxwell-Gleichungen. mit Quellen (bei Variation$A_{\mu})$, und$n$(speziell relativistisch) Newtons 2. Gesetze mit Lorentzkräften (bei Variation${\bf r}_i)$.

Ich weiß nicht, ob ein anderer Ansatz möglich ist, aber dieser funktioniert nicht. Wir beginnen mit Tensor$F_{\mu\nu}$:

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$

aber vergiss das 4-Potenzial und definiere es als:

$$F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0 &-E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$$

und schreiben Sie die Lagrange-Dichte als Funktion der kartesischen Komponenten der Felder, sagen Sie:

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}(E_{x},..,B_{z})$$

und

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{\mu_0}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$

Dann gibt man Euler-Lagrange-Gleichungen (zum Beispiel angewendet auf$E_{x}$)$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{E_{x}}}=0$das ist also nicht konsequent.

Wie können wir das Problem lösen? In einer anderen Lagrange-Dichte denken, etwas Neues definieren$F_{\mu\nu}$Tensor, sorgfältigere Auswahl der unabhängigen Felder?

Warum nicht versuchen? zum Beispiel mit einem Lagrangian der spezifischen Form "Polynom zweiter Ordnung"

$$\mathcal{L}(x^{\mu},X,\partial_{\mu}X):= \sum_{i,j=1}^6\left( A_{ij} X^i X ^j + \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ij} \partial_{\mu}X^i X ^j +\sum_{\mu,\nu=0}^3 C^{\mu\nu}_{ij} \partial_{\mu} X^i \partial_{\nu} X^j \right) \tag{1}\label{1}$$ in$X=\big(E_x, E_y,E_z, B_x, B_y, B_z \big)$. (Da die klassischen Felder$X^i X^j= X^j X^i$pendeln, nur der symmetrische Teil$A$und$C$eine Rolle spielen, also können wir davon ausgehen, dass sie symmetrisch sind.) Unter Berücksichtigung der Antwort von Qmechanics versuchen wir nicht, alle Maxwell-Gleichungen wiederherzustellen, sondern versuchen wir zum Beispiel diejenigen mit möglichen "Quelltermen": $$\left\lbrace \begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot \vec{\mathbf{E}} &= 0 \\ \vec{\nabla}\wedge \frac{\vec{\mathbf{B}}}{\mu} &= \epsilon_0 \frac{\partial \vec{\mathbf{E}}}{\partial t} \end{aligned} \right. \tag{2}\label{2}$$ Mit den Notationen von ( $\ref{1}$), entspricht dies dem Verschwinden von 4 linearen Formen (1 für die erste "skalare" Gleichung, 3 für die zweite Vektorgleichung;$X^i$i-te Komponente, nicht etwas hoch i ) $$\left\lbrace \begin{aligned} \alpha(\partial_{\mu}X)&:= \sum_{i=1}^3\sum_{\mu=0}^3 \alpha^{\mu}_{i} \partial_{\mu}X^i = \sum_{i=1}^3\sum_{\mu=0}^3 \delta^{\mu}_{i} \partial_{\mu}X^i = \sum_{i=1}^3 \partial_i X^i \\ \beta(\partial_{\mu}X)&:= \sum_{i=1}^6\sum_{\mu=0}^3 \beta^{\mu}_{i} \partial_{\mu}X^i = \frac{1}{\mu} \left(\partial_y B_z - \partial_z B_y \right) - \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} = \frac{1}{\mu} \left(\partial_y X^6 - \partial_z X^5 \right) - \epsilon_0 \frac{\partial X^1}{\partial t}\\ \vdots\quad &= \quad \vdots \end{aligned} \right. \tag{3}\label{3}$$ Linke Seite der Euler-Lagrange-Gleichung in der Form$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^i} = \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}X^i)}$liest $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^i} = \sum_{j=1}^6\left(2 A_{ij} X ^j + \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ji} \partial_{\mu}X^j \right)$$ und rhs (mit Einsteins Summationskonvention) $$\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}X^i)} = \partial_{\mu} \left[\sum_{j=1}^6\left( \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ij} X ^j + 2 \sum_{\mu,\nu=0}^3 C^{\mu\nu}_{ij} \partial_{\nu} X^j \right) \right] = \sum_{j=1}^6\left( \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ij} \partial_{\mu}X^j + 2 \sum_{\mu,\nu=0}^3 C^{\mu\nu}_{ij} \partial_{\mu\nu} X^j \right)$$ Man sieht das, um ( $\ref{3}$), darf die Lagrange-Funktion keine Terme enthalten$A_{ij}$und$C^{\mu\nu}_{ij}$. Dann $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^i} - \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}X^i)} = \sum_{j=1}^6 \sum_{\mu=0}^3\left( B^{\mu}_{ji} - B^{\mu}_{ij} \right)\partial_{\mu}X^j$$ (Vorsicht:$B^{\mu}_{ij}$Notation von ( $\ref{1}$), nicht das Magnetfeld...). Nur sein antisymmetrischer Teil spielt eine Rolle, also wählen wir ihn antisymmetrisch, um Eindeutigkeit zu haben. Lassen Sie uns von Hand ansetzen$i=4,\ 0 \leq \mu \leq 3$ $$B^{\mu}_{4j}= - B^{\mu}_{j4}= \delta_j^{\mu}\enspace \text{if}\ 1\leq j \leq 3\quad \text{and}\quad B^{\mu}_{4j}= - B^{\mu}_{j4} = 0\enspace \text{if}\ 4\leq j \leq 6 \tag{4}\label{4}$$ (also ganz explizit der folgende Beitrag$\ \vec{\mathbf{E}}\cdot \vec{\nabla} B_x - B_x \big(\vec{\nabla} \cdot \vec{\mathbf{E}} \big)$zum Lagrange ( $\ref{1}$))

Dies ergibt die erste Gleichung von ($\ref{3}$) ($-1$). Für$i=2,\ 0 \leq \mu \leq 3$, Lass es uns versuchen

$$B_{26}^2 = - B_{62}^2= \frac{-1}{2\mu}\ ,\quad B_{25}^3 = - B_{52}^3= \frac{1}{2\mu}\ ,\quad B_{21}^0 = - B_{12}^0= \frac{\epsilon_0}{2} \tag{5}\label{5}$$ und$B_{2j}^{\mu}= B_{j2}^{\mu}=0$für alle anderen$(i=2,\mu,j)$anders als oben.

(Expliziter Beitrag zum Lagrange:

$$-\frac{1}{2\mu}\left( \partial_y E_y\, B_z - \partial_y B_z\, E_y\right) +\frac{1}{2\mu}\left( \partial_z E_y\, B_y - \partial_z B_y\, E_y\right) +\frac{\epsilon_0}{2}\left( \partial_t E_y\, E_x - \partial_t E_x\, E_y\right)$$ )

Teilschluss: An dieser Stelle scheint es keinen Widerspruch zu geben. Für jeden fest$\mu,\ (B^{\mu}_{ij})$ist ein$6\times 6$antisymmetrische Matrix, also 5 unabhängige Koeffizienten u$20$insgesamt. Imposant zu erholen ($\ref{2}$-$\ref{3}$) sollte die Möglichkeiten naiv auf einen Vektorraum der Dimension reduzieren$20-4=16$aber die Beispiele ($\ref{4}$-$\ref{5}$) zeigen, dass man wohl zweimal überlegen sollte.

In der klassischen Elektrodynamik sind die interessierenden physikalischen Größen die Felder. Die Theorie ist bereits „ohne“ Potentiale formuliert, wenn man an die Maxwellschen Gleichungen denkt.

Die Potentiale kommen später ins Spiel, wenn man die Gleichungen vereinfachen und Lösungen zB mit Green'schen Funktionen etc. finden will. In der Quantenelektrodynamik spielen die Potentiale aber eine echte physikalische Rolle, siehe zB den Aharanov-Bohm-Effekt.