Ableitung der elektromagnetischen Tensorinvariante FμνFμνFμνFμνF_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

Question

Ableitung der elektromagnetischen Tensorinvariante FμνFμνFμνFμνF_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

Superbiene

Der elektromagnetische Feldtensor ist $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ . Ich versuche die Menge zu berechnen

\frac{\partial (F_{a β} F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} .

$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}.$ Diese Rechnung entsteht, wenn versucht wird, die elektromagnetischen Bewegungsgleichungen (dh die Maxwell-Gleichungen) aus der Lagrange-Funktion abzuleiten

L = C F_{μ ν} F^{μ ν}

$\mathcal{L}=C F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ . Gemäß S. 14 dieser Online-Hinweise ist dieses Derivat

\frac{\partial (F_{a β} F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} = 2 F^{a β} \frac{\partial F_{a β}}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} .

$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=2F^{\alpha\beta}\frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_{\nu})} .$

Dieses Ergebnis überrascht mich. Ich kann die Produktregel verwenden, um zu finden

\frac{\partial (F_{a β} F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} = F_{a β} \frac{\partial (F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} + F^{a β} \frac{\partial (F_{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})}

$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=F_{\alpha\beta}\frac{\partial(F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}+F^{\alpha\beta}\frac{\partial(F_{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$

und es ist klar, dass wenn $F_{\alpha\beta}\frac{\partial(F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=F^{\alpha\beta}\frac{\partial(F_{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$ dann bekommst du das gewünschte ergebnis. Ich kann jedoch nicht erkennen, warum dies wahr ist. Insbesondere verstehe ich nicht, wie man die Ableitung bildet

\frac{\partial (F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} = \frac{\partial (\partial^{a} A^{β} - \partial^{β} A^{a})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} = \frac{\partial (\partial^{a} A^{β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} - \frac{\partial (\partial^{β} A^{a})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})}

$\frac{\partial(F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=\frac{\partial(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=\frac{\partial(\partial^{\alpha}A^{\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}-\frac{\partial(\partial^{\beta}A^{\alpha})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$ wobei der untere Teil niedrigere Indizes und der obere Teil obere Indizes hat.

wahrscheinlich_jemand

Können Sie die Metrik nicht einfach verwenden, um die Indizes im Zähler zu verringern?

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Ableitung der elektromagnetischen Tensorinvariante FμνFμνFμνFμνF_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

Können Sie die Metrik nicht einfach verwenden, um die Indizes im Zähler zu verringern?

Knzhou · Answer 1

Zu Ihrer ersten Frage: Die Komponenten der Metrik hängen nicht von ab $\partial_\mu A_\nu$ , oder überhaupt irgendetwas. So haben wir zB

J^{μ} \partial K_{μ} = J^{μ} \partial (η_{μ v} K^{v}) = J^{μ} η_{μ v} \partial K^{v} = J_{v} \partial K^{v} = J_{μ} \partial K^{μ}

$J^\mu \partial K_\mu = J^\mu \partial (\eta_{\mu\nu} K^\nu) = J^\mu \eta_{\mu\nu} \partial K^\nu = J_\nu \partial K^\nu = J_\mu \partial K^\mu$ Wo

\partial

$\partial$ steht für jegliche Art von Derivat und

J

$J$ Und

K

$K$ sind willkürlich. Der Beweis für Ihren Fall ist identisch.

Zu deiner zweiten Frage: Mach einfach das Gleiche. Beachten Sie, dass

\frac{\partial J^{v}}{\partial J_{μ}} = \frac{\partial (η^{ρ v} J_{ρ})}{\partial J_{μ}} = η^{ρ v} \frac{\partial J_{ρ}}{\partial J_{μ}} = η^{ρ v} δ_{ρ}^{μ} = η^{μ v}

$\frac{\partial J^\nu}{\partial J_\mu} = \frac{\partial (\eta^{\rho\nu} J_\rho)}{\partial J_\mu} = \eta^{\rho\nu}\frac{\partial J_\rho}{\partial J_\mu} = \eta^{\rho \nu} \delta^\mu_\rho = \eta^{\mu\nu}$ wo Sie diese Argumentation an Ihr eigenes Beispiel anpassen können. Nachdem Sie dies ein paar Mal getan haben, wird es Ihnen völlig zur zweiten Natur, und Sie müssen die Schritte nicht mehr aufschreiben. Alles funktioniert genau so, wie Sie es erwarten würden, nur "die Indizes aneinanderreihen",

\frac{\partial J^{v}}{\partial J_{μ}} = η^{μ v}, \frac{\partial J^{v}}{\partial J^{μ}} = η_{μ}^{v}, \frac{\partial J_{v}}{\partial J_{μ}} = η_{v}^{μ}, \frac{\partial J_{v}}{\partial J^{μ}} = η_{μ v}

$\frac{\partial J^\nu}{\partial J_\mu} = \eta^{\mu\nu}, \quad \frac{\partial J^\nu}{\partial J^\mu} = \eta^{\nu}_\mu, \quad \frac{\partial J_\nu}{\partial J_\mu} = \eta_\nu^\mu, \quad \frac{\partial J_\nu}{\partial J^\mu} = \eta_{\mu\nu}$ wobei ich, um alle vier Ergebnisse gleich zu schreiben, definiert habe

η_{ν}^{μ} = δ_{ν}^{μ}

$\eta^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu$ .

Benutzer196418 · Answer 2

Verwenden Sie eine Metrik. Schreiben Sie F mit oberen Indizes als F mit unteren Indizes multipliziert mit dem entsprechenden metrischen Tensor, der über die Indizes summiert wird.

F^{A B} = G^{A C} G^{B D} F_{C D}

$F^{ab} = g^{ac}g^{bd}F_{cd}$

Wenn Sie sich in einer flachen Minkowski-Raumzeit befinden, ist g eine konstante Diagonalmatrix und muss nicht differenziert werden. Wenn Sie eine gekrümmte Raumzeit sind, wird der Teil von g benötigt, und es gibt Möglichkeiten, damit umzugehen.

Betrachtet man den Begriff, der ein Problem verursacht, können im Minkowski-Raum (flacher Raum) die Faktoren von g aus der Ableitung herausgegeben und dann auf den Tensor außerhalb der Ableitung eingewirkt werden, um die Indizes zu erhöhen.

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wahrscheinlich_jemand

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Knzhou

Benutzer196418

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