Bewegungsgleichung aus Aktion berechnen

Question

Bewegungsgleichung aus Aktion berechnen

widder0152

Angenommen, mein Aktionsintegral ist

S = \int D^{4} X (\nabla \times A)^{2}

$S=\int d^4x(\nabla \times A)^2$ Und

δ S

$\delta S$ gibt

δ S = \int D^{4} X [2 (\nabla \times A) . (\nabla \times δ A)]

$\delta S =\int d^4x [2(\nabla \times A).(\nabla \times \delta A)]$ Ich möchte den Koeffizienten von berechnen

δ A

$\delta A$ aus diesem Aktionsintegral. Aber ich stecke fest. Wie kann ich das trennen

δ A

$\delta A$ aus dem Begriff so?

Heidar

Es kann nützlich sein, die Indexnotation zu verwenden

(\nabla \times A)_{i} = ϵ_{i j k} \partial_{j} A_{k}

$(\nabla\times A)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j A_k$ und partielle Integration.

Antworten (1)

Bewegungsgleichung aus Aktion berechnen

Es kann nützlich sein, die Indexnotation zu verwenden $(\nabla\times A)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j A_k$ und partielle Integration.

kηives · Answer 1

Lassen Sie uns tun, was Heidar sagt, und es mit Indizes schreiben und die Lagrange-Funktion identifizieren.

L = \frac{1}{2} (\vec{\nabla} \times \vec{A})^{2} = \frac{1}{2} ϵ_{ich J k} \partial_{J} A_{k} ϵ_{ich l M} \partial_{l} A_{M}

$L=\frac{1}{2}(\vec{\nabla}\times \vec{A})^2 = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\partial_j A_k \epsilon_{ilm}\partial_l A_m$ wo Sie, falls Sie noch nichts davon gehört haben, so tun, als gäbe es ein Summationssymbol für jeden wiederholten Index. Da gibt es dann keine nackten

A_{i}

$A_i$ nur alleine sitzen

\partial_{i} A_{j}

$\partial_i A_j$ s der einzige Teil der Lagrange-Gleichungen, der dazu beiträgt, sind

\partial_{Q} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{Q} A_{P})}

$\partial_q \frac{\partial L}{\partial (\partial_q A_p)}$ die wir nach den Gleichungen gleich Null setzen. Dann

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{Q} A_{P})} = \frac{1}{2} (ϵ_{ich J k} δ_{J Q} δ_{k P} ϵ_{ich l M} \partial_{l} A_{M} + ϵ_{ich J k} \partial_{J} A_{k} ϵ_{ich l M} δ_{l Q} δ_{M P})

$\frac{\partial L}{\partial (\partial_q A_p)}=\frac{1}{2}(\epsilon_{ijk}\delta_{jq}\delta_{kp}\epsilon_{ilm}\partial_l A_m+\epsilon_{ijk}\partial_j A_k \epsilon_{ilm}\delta_{lq}\delta_{mp})$ verwenden

\frac{\partial (\partial_{ich} A_{J})}{\partial (\partial_{Q} A_{P})} = δ_{ich Q} δ_{J P} .

$\frac{\partial (\partial_i A_j)}{\partial (\partial_q A_p)}=\delta_{iq}\delta_{jp}.$ Dann haben wir

\partial_{Q} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{Q} A_{P})} = \partial_{Q} (ϵ_{ich Q P} ϵ_{ich J k} \partial_{ich} A_{J}) = \partial_{Q} ((δ_{Q J} δ_{P k} - δ_{Q k} δ_{P J}) \partial_{ich} A_{J}) = \partial_{Q} (\partial_{Q} A_{P} - \partial_{P} A_{Q}) = 0

$\partial_q \frac{\partial L}{\partial (\partial_q A_p)}=\partial_q(\epsilon_{iqp}\epsilon_{ijk}\partial_i A_j) = \partial_q ((\delta_{qj}\delta_{pk}-\delta_{qk}\delta_{pj})\partial_{i} A_j)=\partial_q (\partial_q A_p - \partial_p A_q)=0$ wo ich die vertraglich vereinbarte Epsilon-Identität verwendet und die wiederholten Indizes geändert habe, wie ich sie brauchte, um Begriffe zu kombinieren. Hoffe das hilft.

BEARBEITEN:

Naja, ich werde trotzdem versuchen zu helfen, hoffentlich mache ich nichts noch schlimmer.

δ S = \int D^{3} X \frac{1}{2} ϵ_{ich J k} ϵ_{ich l M} δ (\partial_{J} A_{k}) \partial_{l} A_{M} + \int D^{3} X \frac{1}{2} ϵ_{ich J k} ϵ_{ich l M} \partial_{J} A_{k} δ (\partial_{l} A_{M})

$\delta S = \int d^3 x \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\delta(\partial_j A_k)\partial_l A_m+\int d^3 x\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\partial_j A_k \delta(\partial_l A_m)$ Jetzt mit den Variationen

δ

$\delta$ wir können die Reihenfolge vertauschen

\partial

$\partial$ Und

δ

$\delta$

δ (\partial_{ich} A_{J}) = \partial_{ich} (δ A_{k})

$\delta(\partial_i A_j)=\partial_i (\delta A_k)$ Also mit den beiden oben multiplizierten Termen erhalten wir

\partial_{J} (δ A_{k}) \partial_{l} A_{M} = \partial_{J} (δ A_{k} \partial_{l} A_{M}) - δ A_{k} \partial_{J} \partial_{l} A_{M}

$\partial_j( \delta A_k)\partial_l A_m=\partial_j (\delta A_k \partial_l A_m)-\delta A_k \partial_j \partial_l A_m$ aus der Produktregel. Dies hilft, die Variation des Feldes zu isolieren. Bitte (alle) lassen Sie mich wissen, ob dies immer noch verwirrend und / oder falsch ist. Hoffe das hilft.

Entschuldigung, Ihre $=0$ ganz am Ende ist extrem verwirrend, weil Sie anscheinend behaupten, dass der vorherige Ausdruck identisch Null ist. Es ist sicherlich nicht. Offensichtlich ist der Beitrag im Allgemeinen proportional zu $\nabla\times B$ . Es wäre ziemlich schlimm, wenn der (räumliche) Maxwell-Term den Maxwell-Gleichungen Null geben würde. ;-) Sie sollten nicht Null schreiben, weil es andere Terme in den Gleichungen von anderen Termen in der Aktion gibt, wie z $j\cdot A$ Und $(\partial_t A)^2$ .
hmmm ... aber angesichts des Lagrange von OP, sind Lagranges Gleichungen nicht das, was ich in der letzten Zeile aufgeschrieben habe? Sicherlich haben Sie Recht, wenn der Lagrangian komplizierter ist.
Eigentlich muss ich Lubos Motl zustimmen, weil es im Haupt-Lagrangian andere Begriffe damit gibt. Die von dir beschriebene Vorgehensweise habe ich bereits ausprobiert. Das verursacht einige Probleme. Also bat mich einer meiner Berater, das Pfadintegral zu versuchen, die Koeffizienten der Terme zu trennen, und das könnte zu der Bewegungsgleichung führen, die wir wollen.
Nun, mein Fehler, ich dachte, Sie wollten das EOM, vorausgesetzt, das war das gesamte Aktionsintegral. Verzeihung.

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widder0152

Heidar

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kηives

Lubos Motl

kηives

widder0152

kηives

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