Zweifel an der Variation der Einstein-Maxwell-Dilaton-Wirkung

Question

Zweifel an der Variation der Einstein-Maxwell-Dilaton-Wirkung

Benutzer161157

Ich arbeite mich durch die Variation der Einstein-Maxwell-Dilaton-Aktion, wie sie in The Rotating Dyonic Black Holes Of Kaluza-Klein Theory angegeben ist . Rasheed gibt die Aktion als an

\begin{matrix} (1) & S = \int D^{4} X \sqrt{G} [R - 2 (\partial σ)^{2} - 2 e^{2 B σ} F^{2}] \end{matrix}

$\begin{equation} S=\int\mathrm{d}^4x\sqrt{g}\left[R-2(\partial\sigma)^2-2e^{2b\sigma}F^2\right] \tag{1} \end{equation}$

Wo $b$ ist eine Konstante, $\sigma$ ist das Dilaton-Skalarfeld und $F^2\equiv F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ . Durch Variieren $S$ möchte ich die Bewegungsgleichungen wiederherstellen, wie sie in Gleichung (1.2) in der Arbeit angegeben sind. Ich konnte die Gleichungen in Bezug auf wiederherstellen $\delta\sigma$ Und $\delta A_{\nu}$ . Ich scheine jedoch nicht in der Lage zu sein, die Bewegungsgleichung wiederherzustellen, wenn ich in Bezug auf variiere $g^{\mu\nu}$ dh $\delta g^{\mu\nu}$ .

Rasheed gibt die Bewegungsgleichung für an $\delta g^{\mu\nu}$ als

\begin{matrix} (2) & R_{μ v} = 2 (\partial_{μ} σ) (\partial_{v} σ) + 2 e^{2 B σ} T_{μ v} \end{matrix}

$\begin{equation} R_{\mu\nu}=2(\partial_{\mu}\sigma)(\partial_{\nu}\sigma)+2e^{2b\sigma}T_{\mu\nu} \tag{2} \end{equation}$

wo ich glaube, dass es einen Tippfehler bei der Positionierung der Indizes für den partiellen Derivatbegriff in der Zeitung gab, und $(2)$ sollte die richtige Version sein.

Ich konnte den letzten Begriff mit finden $T_{\mu\nu}$ . Für den Term mit den partiellen Ableitungen werde ich jedoch immer einen zusätzlichen Term mit einbeziehen $(\partial\sigma)^2$ die sich aus dem Variieren ergibt $\sqrt{g}$ .

Meine Berechnungen sind wie folgt

\begin{aligned} - 2 δ [\sqrt{- G} (\partial σ)^{2}] & = - 2 δ [\sqrt{- G} G^{μ a} \partial_{a} σ \partial_{μ} σ] \\ = - 2 \partial_{a} σ \partial_{μ} σ \sqrt{- G} (δ G^{μ a} - \frac{1}{2} G_{γ β} δ G^{γ β} G^{μ a}) \\ (3) & = - 2 \partial_{a} σ \partial_{μ} σ \sqrt{- G} δ G^{μ a} + \partial_{a} σ \partial^{a} σ \sqrt{- G} G_{γ β} δ G^{γ β} \end{aligned}

$\begin{align} -2\delta\left[\sqrt{-g}(\partial\sigma)^2\right]&=-2\delta\left[\sqrt{-g}g^{\mu\alpha}\partial_{\alpha}\sigma\partial_{\mu}\sigma\right]\\ &=-2\partial_{\alpha}\sigma\partial_{\mu}\sigma\sqrt{-g}\left(\delta g^{\mu\alpha}-\frac{1}{2}g_{\gamma\beta}\delta g^{\gamma\beta}g^{\mu\alpha}\right)\\ &=-2\partial_{\alpha}\sigma\partial_{\mu}\sigma\sqrt{-g}\delta g^{\mu\alpha}+\partial_{\alpha}\sigma\partial^{\alpha}\sigma\sqrt{-g}g_{\gamma\beta}\delta g^{\gamma\beta} \tag{3} \end{align}$

Wie werde ich die los $(\partial\sigma)^2=\partial_{\alpha}\sigma\partial^{\alpha}\sigma$ Begriff? Auch ist die linke Seite von $(2)$ soll der Einstein-Tensor sein $G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ statt nur $R_{\mu\nu}$ ?

JG

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Benutzer161157

Ich habe, wie gewünscht, in meine Berechnungen aufgenommen.

KP99

Hast du es mit probiert

σ R

$\sigma R$ statt nur

R

$R$ in der Aktion?

Niemand

@Thomas Ich habe die vorherige Antwort gelöscht, die, obwohl sie die Prozedur beschrieben hat, einige Missverständnisse in den Kommentaren hatte.

Antworten (2)

Zweifel an der Variation der Einstein-Maxwell-Dilaton-Wirkung

Ich habe, wie gewünscht, in meine Berechnungen aufgenommen.
Hast du es mit probiert $\sigma R$ statt nur $R$ in der Aktion?
@Thomas Ich habe die vorherige Antwort gelöscht, die, obwohl sie die Prozedur beschrieben hat, einige Missverständnisse in den Kommentaren hatte.

Niemand · Answer 1

Die Einstein-Gleichung im Allgemeinen lautet:

R_{μ v} - \frac{1}{2} G_{μ v} R = T_{μ v}

$R_{\mu\nu} - \cfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$ Ablaufverfolgung (

d = 4

$d=4$ ) wir bekommen

R = - T

$R=-T$ und Ersetzen zurück wir haben

R_{μ v} = T_{μ v} - \frac{1}{2} G_{μ v} T

$R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T$ Wo

T

$T$ bezeichnet die Spur von

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ . Variiert man die Aktion (1) bezüglich der Metrik, ergibt der erste Term den Einstein-Tensor, der zweite den

2 \partial_{μ} σ \partial_{v} σ - G_{μ v} \partial_{A} σ \partial^{A} σ

$2\partial_{\mu}\sigma\partial_{\nu}\sigma - g_{\mu\nu}\partial_{a}\sigma\partial^{a}\sigma$ während der dritte Term mit dem EM-Tensor zusammenhängt. Gemäß der Notation des Papiers lautet die Einstein-Gleichung

R_{μ v} - \frac{1}{2} G_{μ v} R = 2 \partial_{μ} σ \partial_{v} σ - G_{μ v} \partial_{A} σ \partial^{A} σ + 2 \exp (2 B σ) T_{μ v}

$R_{\mu\nu} - \cfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 2\partial_{\mu}\sigma\partial_{\nu}\sigma - g_{\mu\nu}\partial_{a}\sigma\partial^{a}\sigma + 2\exp(2b\sigma)T_{\mu\nu}$

$T_{\mu\nu}$ ist spurlos drin $d=4$ . Rückverfolgung haben wir

R = 2 \partial^{A} σ \partial_{A} σ

$R = 2\partial^{a}\sigma\partial_{a}\sigma$

Zurücksetzen haben wir

R_{μ v} - \frac{1}{2} G_{μ v} 2 \partial^{A} σ \partial_{A} σ = 2 \partial_{μ} σ \partial_{v} σ - G_{μ v} \partial_{A} σ \partial^{A} σ + 2 \exp (2 B σ) T_{μ v}

$R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}2\partial^{a}\sigma\partial_{a}\sigma = 2\partial_{\mu}\sigma\partial_{\nu}\sigma - g_{\mu\nu}\partial_{a}\sigma\partial^{a}\sigma + 2\exp(2b\sigma)T_{\mu\nu}$

wobei die Summenterme gestrichen werden und man die gewünschte Gleichung erhält.

Andreas · Answer 2

Die Antwort von ApolloRa ist genau richtig. Ich wollte nur einen etwas anderen Ansatz geben, der einen Trick veranschaulicht, der beim Debuggen von Berechnungen sehr mächtig sein kann. (Außerdem gibt es einen kniffligen Faktor von 2, auf den ich hinweisen möchte).

Der Trick besteht darin, zu versuchen, den Teil, mit dem Sie Probleme haben, von der vollständigen Berechnung abzukoppeln. In diesem Fall können wir feststellen, dass es eine nützliche Vereinfachung ist, den Grenzwert zu nehmen, da Ihre Frage ausschließlich mit dem Gravitationsskalarsektor ohne das Eichfeld zu tun hat $b \rightarrow -\infty$ . Dadurch wird das Vektorfeld vollständig beseitigt. Dann ist die Wirkung GR an ein masseloses Skalarfeld gekoppelt (ich werde die expliziten Faktoren von beibehalten $\pi$ und Newtons Konstante $G_N$ die von Rasheed für den Moment fallen gelassen wurden)

S = \int D^{4} X \sqrt{- G} (\frac{R}{16 π G_{N}} - 2 (\partial σ)^{2})

$\begin{equation} S = \int {\rm d}^4 x \sqrt{-g} \left(\frac{R}{16\pi G_N} - 2 (\partial \sigma)^2\right) \end{equation}$ Durch Standardergebnisse können wir sofort die Bewegungsgleichungen aufschreiben

\begin{array}{rcl} R_{μ v} - \frac{1}{2} G_{μ v} R & = & 8 π G_{N} T_{μ v}^{(σ)} \\ ◻ σ & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} g_{\mu\nu} R &=& 8\pi G_N T^{(\sigma)}_{\mu\nu}\\ \square \sigma &=& 0 \end{eqnarray}$ wobei der Spannungs-Energie-Tensor eines masselosen Skalarfeldes gegeben ist durch

T_{μ v}^{(σ)} = 4 \partial_{μ} σ \partial_{v} σ - 2 (\partial σ)^{2} G_{μ v}

$\begin{equation} T^{(\sigma)}_{\mu\nu} = 4 \partial_\mu \sigma \partial_\nu \sigma - 2 (\partial \sigma)^2 g_{\mu\nu} \end{equation}$ Wo

(\partial σ)^{2} = \partial_{μ} σ \partial^{μ} σ

$(\partial \sigma)^2=\partial_\mu \sigma \partial^\mu \sigma$ (zum Vergleich mit den Wikipedia-Konventionen beachten Sie, dass wir ersetzen können

ℏ^{2} / m

$\hbar^2/m$ in ihrer Notation mit

2

$2$ ). Beachten Sie, dass die Spur gegeben ist durch

T^{(σ)} = - 4 (\partial σ)^{2}

$\begin{equation} T^{(\sigma)} = - 4 (\partial \sigma)^2 \end{equation}$

Indem Sie die gleichen Schritte in Apollo Ra's Antwort befolgen (Umschreiben der Einstein-Gleichungen als $R_{\mu\nu}=8\pi G_N \left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2} T g_{\mu\nu} \right)$ und Einstecken der Ausdrücke für $T_{\mu\nu}$ Und $T$ ), kommen wir zu

R_{μ v} = 32 π G_{N} \partial_{μ} σ \partial_{v} σ

$\begin{equation} R_{\mu\nu} = 32 \pi G_N \partial_\mu \sigma \partial_\nu \sigma \end{equation}$ Jetzt ist der letzte Schritt zu beachten, dass Rasheed Einheiten ausgewählt hat, wo

16 π G_{N} = 1

$16\pi G_N=1$ (Dies ist ein etwas kniffliger Faktor von 2, da er eher standardmäßig einzustellen ist

8 π G_{N} = 1

$8\pi G_N=1$ , was die Einstein-Gleichungen ergibt

G_{μ ν} = T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}$ statt Rasheeds

G_{μ ν} = \frac{1}{2} T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}=\frac{1}{2} T_{\mu\nu}$ ). Mit dieser Tatsache haben wir das gewünschte Ergebnis

R_{μ v} = 2 \partial_{μ} σ \partial_{v} σ

$\begin{equation} R_{\mu\nu} = 2 \partial_\mu \sigma \partial_\nu \sigma \end{equation}$ Jetzt, da der skalare Sektor funktioniert, ist es einfach, zurück zu gehen und zu machen

b

$b$ endlich mit Ihren Ergebnissen aus dem Vektorbereich.

Zweifel an der Variation der Einstein-Maxwell-Dilaton-Wirkung

Benutzer161157

JG

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KP99

Niemand

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Niemand

Andreas

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