Ableitung des Elektromagnetismus-Energiespannungstensors in GR [geschlossen]

Da scheinen zwei Fehler zu sein.

1. Ihre Definitionen der Energie-Stress-Tensoren sind inkonsistent. Nehmen wir Ihre zweite Definition als die richtige an, als die ich schreibe$\delta\left(L(-g)^{1/2}\right)=T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$. Aus dieser Definition können wir auch herausfinden, was$T^{\mu\nu}$benutzt$T_{\mu\nu}=T^{\rho\sigma}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}$. Wenn Sie dies in Ihre zweite Definition der Energie-Stress-Tensor-Erträge einfügen

   $$\delta\left(L(-g)^{1/2}\right)=T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=T^{\rho\sigma}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\mu\nu}.$$ Jetzt können Sie die Identität verwenden$g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\mu\nu}=-\delta g_{\rho\sigma}$. Das ist Ihnen wahrscheinlich bewusst, da Sie das auch geschrieben haben$\delta(-g)^{1/2}=\frac{1}{2}(-g)^{1/2}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}(-g)^{1/2}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$und der Minuszeichenunterschied kommt von dieser Identität. Wie auch immer, die Verwendung dieser Ergebnisse führt zu $$\delta\left(L(-g)^{1/2}\right)=T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=-T^{\rho\sigma}\delta g_{\rho\sigma}$$ und deshalb $$T^{\mu\nu}=-\frac{\delta (L(-g)^{1/2})}{\delta g_{\mu\nu}}.$$ Wenn Sie also Ihre zweite Definition annehmen, ist Ihre erste Definition des Stress-Energie-Tensors um ein Minuszeichen versetzt.

2. Aufgrund des obigen Punktes erhalten Sie in Ihrer ersten Ableitung ein zusätzliches Gesamtminuszeichen. Ein Vergleich Ihrer beiden Ergebnisse zeigt dann, dass es im zweiten Term eine Vorzeicheninkonsistenz gibt, die von der Variation von herrührt$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$. Wahrscheinlich haben Sie in Ihrer zweiten Ableitung geschrieben

   $$\delta(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})=\delta\left(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}\right)=F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}(\delta g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}+g^{\rho\mu}\delta g^{\sigma\nu}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)$$ und Indizes danach umbenannt, um Ihr Ergebnis zu erhalten. Beachten Sie, dass Sie im letzten Schritt davon ausgehen$\delta F_{\mu\nu}=0$beim Variieren bzgl. der Metrik. Das ist richtig. In Ihrer ersten Ableitung haben Sie wahrscheinlich verwendet $$\delta(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})=\delta\left(F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}\right)=F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}(\delta g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}+g_{\rho\mu}\delta g_{\sigma\nu}).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (2)$$ Das bedeutet, dass Sie das im letzten Schritt verwendet haben$\delta F^{\mu\nu}=0$. Dies ist jedoch nicht korrekt. Denken Sie daran, dass der elektromagnetische Feldtensor$F$ist eine 2-Form (sie ist definiert als die äußere Ableitung der 1-Form, d. h.$F=dA$). Dies bedeutet, dass einige Koordinaten gegeben sind$x^\mu$, die Bestandteile von$F$werden von gegeben$F=F_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$. Wenn Sie das nicht verstanden haben, ist das Wichtigste, dass die Komponenten von$F$werden mit den Indizes nach unten definiert ($F_{\mu\nu}$). Ich brauche also keinen metrischen Tensor für diese Definition$\delta F_{\mu\nu}=0$beim Variieren bzgl. der Metrik. Um jedoch den Tensor zu definieren$F^{\mu\nu}$, mit den Indizes nach oben, dann brauche ich den metrischen Tensor:$F^{\mu\nu}\equiv g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}$. Deshalb$\delta F^{\mu\nu}\neq 0$beim Variieren bzgl. der Metrik! Dies ist wahrscheinlich Ihr Fehler in Ihrer ersten Herleitung.

Um Ihren Fehler in Ihrer ersten Herleitung zu beheben, sollten Sie daher Gl.$(2)$oben (da es falsch ist), sondern verwenden Sie einfach Gl.$(1)$oben, und verwenden Sie dann die Identität$g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\mu\nu}=-\delta g_{\rho\sigma}$erneut, um das andere benötigte Minuszeichen zu erhalten.