Strenge Definition der Variation

Eine Definition kann durch direkte Verallgemeinerung der auf die Frage gegeben werden. Nimm den Raum der Felder als den Raum$C^\infty(X, M)$glatter Funktionen zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Für jede reibungslose Funktion$S:C^\infty(X, M)\to\mathbb{R}$und jede Familie von Feldern mit einem Parameter$h:\mathbb{R}\times X\to M$Wir können eine Funktion definieren$f_{S,h}\in C^\infty(\mathbb{R})$von$f_{S,h}(t) = S(h_t)$. Die Variation$\delta S$ist das Differenzial$df_{S,h}$dieser Karte.

Im Fall der Mechanik spezialisieren wir uns nur auf diese Definition$X=[a,b]$. In der allgemeinen Relativitätstheorie$X$ist die Raumzeit.$R_{\mu\nu}$sollte in diesem Zusammenhang als Funktion über der Mannigfaltigkeit gesehen werden, die jedem Punkt zuordnet$x\in X$ein funktionales$R_{\mu\nu}(x)$der Metrik.

Der Benutzer coconut war schneller (und kürzer), daher zielt die Antwort möglicherweise eher darauf ab, die technischen Aspekte der Variationsrechnung für die (lokale) klassische Feldtheorie ein wenig zu erweitern.

Ein Physikbuch, das ziemlich gute Arbeit bei der Definition der Variation eines Aktionsfunktionals für die Feldtheorie leistet, ist General Relativity von Robert M. Wald (University of Chicago Press, 1984) – siehe Anhang E, S. 450ff. Da es aber noch ein paar technische Details außer Acht lässt, skizziere ich im Folgenden die Vorgehensweise.

Die Idee ist im Wesentlichen die gleiche, die Sie für die klassische Mechanik geschrieben haben. Man versteht Feldkonfigurationen (darunter die Raum-Zeit-Metrik$g$) als glatte Abschnitte

$$\phi\in\Gamma^\infty(\pi):=\{\phi\in\mathscr{C}^\infty(M,E)\ |\ \pi\circ\phi=\mathrm{id}_M\}$$ eines Faserbündels $\pi:E\rightarrow M$über der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit $M$. (Endliche) Feldvariationen sind dann nur glatte Abbildungen $\Phi:M\times I\rightarrow E$, Wo $I\subset\mathbb{R}$ist ein offenes Intervall, so dass $$\phi_s:=\Phi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty(\pi)$$ für alle $s\in I$. Letzteres bedeutet das $\phi_s(p)=\Phi(p,s)\in\pi^{-1}(p)$für alle $p\in M$, $s\in I$- insbesondere, wenn (sagen wir) $0\in I$Und $\phi_0=\phi$, dann eine unendlich kleine Feldvariation herum $\phi$würde jeweils gegeben werden $p\in M$von $\delta\phi(p)=\left.\dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\right|_{s=0}$. Es folgt dem $\delta\phi$kann als glatter Abschnitt des Pullbacks angesehen werden $$\phi^*VE:=\{(p,X)\in M\times VE\ |\ \phi(p)=\pi_{TE}(X)\}$$ des vertikalen Bündels $$\pi_{TE}:VE:=\{X\in TE\ |\ T\pi(X)=0_{TM}\}\rightarrow E$$ unter $\phi$, der als "Tangentenvektor" angesehen werden kann $\Gamma^\infty(\pi)$bei $\phi$. Umgekehrt, wenn Sie eine (vollständige) Riemannsche Metrik auf die Fasern von setzen $E$, können Sie die ihnen zugeordnete Exponentialkarte verwenden, um eine Feldvariation aus einer infinitesimalen zu erstellen.

Dies ist ungefähr das Bild von$\Gamma^\infty(\pi)$als unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit (es gibt einige Vorbehalte, die im technischen Anhang am Ende dieser Antwort kurz erörtert werden, aber im Folgenden keine Rolle spielen).

Um von dort zu Aktionsvariationen zu gelangen, muss man zunächst skizzieren, was ein Aktionsfunktional ist. Daran erinnern, dass eine funktionale auf$\Gamma^\infty(\pi)$ist nur eine Karte$F:\Gamma^\infty(\pi)\rightarrow\mathbb{C}$. Es stellt sich heraus, dass eine Aktion kein einzelnes Funktional ist, sondern eine Familie von Funktionalen$\{S_K\ |K\subset M\text{ compact}\}$so dass$S_K(\phi_1)=S_K(\phi_2)$für alle$\phi_1,\phi_2\in\Gamma^\infty(\pi)$so dass$\phi_1=\phi_2$An$K$. Hier geht es darum, die (am häufigsten anzutreffende) Möglichkeit zu berücksichtigen, nach der die Lagrange-Dichte ausgewertet wurde$\phi$ist insgesamt nicht integrierbar$M$. Verlangt man dazu das jede$S_K$ist lokal und hängt von den Ableitungen von ab$\phi$auf Bestellung (sagen)$r$(in einem genauen Sinne, den ich hier nicht definieren werde), folgt daraus

$$S_K(\phi)=\int_K L(p,\phi(p),\nabla\phi(p),\ldots,\nabla^r\phi(p))\mathrm{d}^n x\ ,$$ wo die Lagrange-Dichte $L$ist glatt in seinen Argumenten (das verlangen wir auch $L$hängt nicht davon ab $K$, natürlich - dies kann in Kompatibilitätsbedingungen zwischen den verschlüsselt werden $S_K$'s, deren Details für uns hier irrelevant sind).

Ich bin absichtlich locker bei der Definition von Ableitungen (erster und höherer Ordnung).$\nabla^k\phi$von glatten Abschnitten$\phi$von$\pi$(die verschlüsseln, im Fall von$\phi=g$, die Krümmung von$g$und so weiter), da dies den Begriff von Strahlbündeln erfordert$\pi$, der etwas langatmig ist und uns hier von unserem Hauptziel ablenken wird (ich kann später ein paar Details dazu hinzufügen, wenn Sie es für nötig halten). Sobald dies alles eingestellt ist, wird die (endliche) Variation von$S_K$korrespondierend zu$\Phi$ist nur$S_K(\phi_s)$, und die entsprechende infinitesimale Variation ist gerade

$$\delta S_K(\phi)=\left.\dfrac{d}{ds}\right|_{s=0}S_K(\phi_s)\ .$$ An dieser Stelle wird dies zu einer normalen Differenzierung unter dem Integralzeichen, was unter den obigen Anforderungen durchaus zulässig ist.

Ein wichtiger Schritt in der Informatik$\delta S_K(\phi)$soll zeigen, dass Faser- und Basenderivate pendeln , d.h

$$\dfrac{\partial\nabla^k\Phi(p,s)}{\partial s}=\nabla^k \dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\ ,$$ so dass $\nabla^k(\delta\phi)=\delta(\nabla^k\phi)$, für alle $k\leq r$. Auf diese Weise erhält man die üblichen Divergenzterme, die in Standardbehandlungen der Variationsrechnung vorkommen. Um diese loszuwerden (zum Beispiel bei der Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen), kann man annehmen, dass die infinitesimalen Feldvariationen im Inneren von unterstützt werden $K$(weitere Informationen hierzu finden Sie im technischen Anhang unten) bei Bedarf.

Es ist wichtig zu beachten, dass das oben erläuterte Variationsprinzip inhärent lokal ist, so dass die obigen Überlegungen tatsächlich unabhängig davon sind$K$.

( Technischer Anhang: Wenn Sie eine Art glatte Verteilerstruktur haben möchten$\Gamma^\infty(\pi)$, müssen Sie angeben, welche Modellvektorräume Sie verwenden. Es stellt sich heraus, dass Sie verwenden müssen

$$\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M):=\{X_\phi\in\Gamma^\infty(\phi^*VE\rightarrow M)\ |\ X_\phi\text{ has compact support}\}$$ als Modelle, ansonsten die resultierende Topologie von $\Gamma^\infty(\pi)$(unter Verwendung der im zweiten Absatz oben erwähnten Exponentialkarten zum Erstellen eines Atlas) ist nicht garantiert, dass sie lokal pfadweise verbunden sind (dies kann fehlschlagen, wenn $M$ist nicht kompakt), also keine Mannigfaltigkeitstopologie. Dies hat zur Folge, dass Feldvariationen eingeschränkt werden sollten $\Phi$so sein, dass für jedes kompakte (= abgeschlossene und beschränkte) Teilintervall $J\subset I$Es gibt eine kompakte Teilmenge $K\subset M$so dass $\Phi(p,s)$ist ständig an $(M\smallsetminus K)\times J$. Der Grund dafür ist, dass diese Feldvariationen mit dem oben genannten Atlas genau die glatten Kurven von werden $\Gamma^\infty(\pi)$, und daher $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)=T_\phi\Gamma^\infty(\pi)$wird der Tangentenraum (ohne Anführungszeichen) zu $\Gamma^\infty(\pi)$bei $\phi$. Interessanterweise sind dies genau die Art von Feldvariationen, die zur Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen benötigt werden, was ihrer Bedeutung ein zusätzliches Gewicht verleiht, das über die bloße ästhetische Anforderung der Konsistenz mit einer mannigfaltigen Struktur hinausgeht $\Gamma^\infty(\pi)$. Ein weiteres technisches Detail ist, dass bei Verwendung der standardmäßigen (induktiven Grenze) lokal konvexen Vektorraumtopologie von $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$um die Topologie von zu induzieren $\Gamma^\infty(\pi)$Durch den obigen Atlas erhält man eine topologische Mannigfaltigkeitsstruktur (die übrigens die sogenannte Whitney-Topologie auf $\Gamma^\infty(\pi)$) aber nicht glatt . Für letzteres müssen Sie die durch die glatten Kurven induzierte endgültige Topologie verwenden $$\Xi:\mathbb{R}\rightarrow\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ An $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, das feiner ist als sein Standard. Die sanften Rundungen $\Xi$An $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, sind ihrerseits glatte Karten $\Xi:M\times I\rightarrow E$, Wo $I\subset\mathbb{R}$ist ein offenes Intervall, so dass $$X_s:=\Xi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ für alle $s\in I$so dass für jedes kompakte Teilintervall $J\subset I$Es gibt eine kompakte Teilmenge $K\subset M$so dass die Unterstützung von $X_s$darin enthalten ist $K$für alle $s\in J$. (Erinnern Sie sich daran, dass die Unterstützung eines Abschnitts $X$eines Vektorbündels vorbei $M$ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge $\mathrm{supp}\,X$von $M$so dass $X$entspricht dem Nullabschnitt außen $\mathrm{supp}\,X$) Für (viele) weitere Details zu dem hier skizzierten Verfahren siehe das Buch von Andreas Kriegl und Peter W. Michor, The Convenience Setting of Global Analysis (AMS, 1997))