Können wir die Reihenfolge der Bewegungsgleichungen bestimmen, indem wir einfach die Wirkung betrachten?

Naiverweise würde man erwarten, dass die EL-Gleichungen, die sich aus einer Aktion ergeben, Ableitungen (des dynamischen Felds) einer Ordnung enthalten, die doppelt so groß ist wie die Ableitung höchster Ordnung (des dynamischen Felds), die in der Aktion vorhanden ist. Aus der Einstein-Hilbert-Aktion wissen wir jedoch, dass diese Erwartung nicht immer zutrifft.

Um die Geschichte noch einmal zusammenzufassen: Die Ableitungen höchster Ordnung der Metrik in der EH-Aktion sind die Ableitungen zweiter Ordnung der Metrik, die aus dem stammen ∂ Γ Terme des Ricci-Skalars. Die Einstein-Gleichungen enthalten jedoch keine Ableitungen dritter Ordnung der Metrik, sondern nur die Ableitungen zweiter Ordnung (oder niedriger) der Metrik. Dies ist leicht zu erkennen, wenn man bedenkt, dass die Ableitung höchster Ordnung der Metrik, die im Ricci-Tensor/Skalar vorhanden ist, die Ableitung zweiter Ordnung der Metrik ist, die wiederum von der stammt ∂ Γ Bedingungen. Diese Magie geschieht, weil man die EH-Lagrange-Dichte als einen Teil schreiben kann, der nur die Ableitungen erster Ordnung (oder niedriger) der Metrik enthält, und einen Teil, der die Ableitungen zweiter Ordnung (oder niedriger) der Metrik enthält, und der zweite Teil dreht sich als reiner Divergenzterm heraus, der nicht zu den EL-Gleichungen beitragen würde. Somit verbleiben uns die EL-Gleichungen, die die Ableitungen zweiter Ordnung der Metrik als Ableitung höchster Ordnung der Metrik enthalten.

Ich wusste das bis vor kurzem nicht, und ich erinnere mich, dass ich die Argumentation „Die Aktion ist von der k -ter Ordnung in Ableitungen der dynamischen Felder, so würden wir erhalten 2 k Ableitungen -ter Ordnung des dynamischen Felds in den Bewegungsgleichungen "mehrere Situationen in der Physik. Jetzt bin ich verwirrt darüber, dass die Bewegungsgleichungen in mehreren Situationen eine Ordnung niedriger als erwartet sind, da dies nicht einfach zu erkennen scheint ob es eine Zerlegung der Lagrange-Dichte in nicht reine Divergenz- und reine Divergenz-Teile gibt, so dass alle Ableitungsterme höchster Ordnung in den reinen Divergenz-Teilen sind. Gibt es eine Möglichkeit, die Aktion zu untersuchen, um festzustellen, ob ist dies der Fall oder nicht, ohne die EL-Gleichungen explizit abzuleiten?

Eine Möglichkeit, um herauszufinden, ob es eine Situation gibt, wie Sie sie erklärt haben (dh DE 2. Ordnung für Lagrange, die die zweite Ableitung der dynamischen Variablen enthält), besteht darin, wie üblich die Aktion zu variieren und die Grenzterme zu sehen. Wenn wir nun im Grenzterm mehr Daten als erforderlich fixieren müssen, damit die Aktion gut aufgestellt ist, dann wäre dort die Ordnung der EL-Gleichung geringer als erwartet.

Antworten (1)

  1. Wenn die Lagrange-Dichte L hat höchstens k ∈ N 0 Raumzeitableitungen, dann werden höchstens die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen gelten 2 k Raumzeit-Ableitungen.

  2. Terme der totalen Divergenz D μ F μ in der Lagrange-Dichte L beeinflusst die EL-Gleichungen nicht. Wie OP bereits erwähnt, kann man möglicherweise umschreiben L = L ~ + D μ F μ in ein Stück L ~ mit, sagen wir, nur k ~ Raumzeitableitungen, so dass EL-Gleichung höchstens haben wird 2 k ~ Raumzeit-Ableitungen.

  3. Der Mechanismus in Pt. 2 geschieht bei der Einstein-Hilbert-Wirkung 2. Ordnung, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

  4. In einer gegebenen Theorie könnte es mühsam/schwierig sein, alle möglichen versteckten Terme der totalen Divergenz zu identifizieren. In der Praxis ist es einfacher, zunächst nur EL-Gleichungen abzuleiten, und wenn die Ableitungsreihenfolge geringer als erwartet ist, versuchen Sie, einen versteckten Term der totalen Divergenz darin zu identifizieren L ~ das verursacht die Fehlanpassung.

Gute Antwort wie immer! Nur ein zusätzlicher Kommentar. Wie bereits erwähnt, werden dieselben EL-Gleichungen erhalten, selbst wenn die Lagrange-Dichte wie in Punkt 2 geschrieben wird. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass das Wirkungsprinzip schlecht gestellt wird, wenn angenommen wird, dass F von der ersten Ableitung der dynamischen Variablen abhängt. Dies ist, wie erklärt, genau das, was bei Einstein-Hilber-Aktionen passiert, und aufgrund dessen müssen wir den GHY-Begriff hinzufügen, um die Aktion gut gestellt zu machen.
Können wir die Reihenfolge der Bewegungsgleichungen bestimmen, indem wir einfach die Wirkung betrachten?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v