Integration über die Hyperfläche in der Einstein-Hilbert-Aktion

Question

Integration über die Hyperfläche in der Einstein-Hilbert-Aktion

Physik
Gauß-Gesetz
generelle Relativität
Variationsrechnung
Variationsprinzip

Konstantin

Bei der Variation der Einstein-Hilbert-Aktion das Integral des Terms $d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ über der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist gleich Null.

ICH = \int_{M} D^{4} X \sqrt{- G} G^{μ v} δ R_{μ v} = \int_{M} D^{4} X \sqrt{- G} D_{μ} (G^{a β} δ Γ_{a β}^{μ} - G^{a μ} δ Γ_{a β}^{β})

$I=\underset{\mathcal M}\int d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\underset{\mathcal M}\int d^4x\sqrt{-g}D_{\mu}(g^{\alpha\beta}\delta\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}-g^{\alpha\mu}\delta\Gamma^{\beta}_{\alpha\beta})$

Bezeichnung $g^{\alpha\beta}\delta\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}-g^{\alpha\mu}\delta\Gamma^{\beta}_{\alpha\beta}=\delta\mathcal V^{\mu}:$

\int_{M} D^{4} X \sqrt{- G} D_{μ} δ v^{μ} = \oint_{\partial M} D Σ_{μ} δ v^{μ} = 0

$\underset{\mathcal M}\int d^4x\sqrt{-g}D_{\mu}\mathcal \delta V^{\mu}=\underset{\partial \mathcal M}\oint d\Sigma_{\mu}\delta\mathcal V^{\mu}=0$ Wo

d Σ_{μ} = n_{μ} \sqrt{| γ |} d^{3} ξ

$d\Sigma_{\mu}=n_{\mu}\sqrt{|\gamma|}d^3\xi$ ,

γ

$\gamma$ Ist

3

$3$ -dimensionale induzierte Metrik. Was ist der Grund dafür, dass das Integral Null ist?

Gold

Wenn man normalerweise die Variation der Aktion durchführt, um die Bewegungsgleichungen der Theorie zu erhalten, und plötzlich Randterme wegwirft, ist die nicht angegebene Annahme, dass die Variationen der Felder eine kompakte Unterstützung sein sollen, was bedeutet, dass sie verschwinden außerhalb eines kompakten Satzes. In diesem Fall werden diese Grenzintegrale schließlich auf Null gesetzt. Aber wenn die Variationen nicht kompakt unterstützt werden, kann man diese Begriffe nicht wegwerfen. Insbesondere sind sie bei der Definition der sympletischen Form nach Walds Methode relevant. Siehe zB aip.scitation.org/doi/10.1063/1.528801 .

Antworten (1)

Integration über die Hyperfläche in der Einstein-Hilbert-Aktion

Wenn man normalerweise die Variation der Aktion durchführt, um die Bewegungsgleichungen der Theorie zu erhalten, und plötzlich Randterme wegwirft, ist die nicht angegebene Annahme, dass die Variationen der Felder eine kompakte Unterstützung sein sollen, was bedeutet, dass sie verschwinden außerhalb eines kompakten Satzes. In diesem Fall werden diese Grenzintegrale schließlich auf Null gesetzt. Aber wenn die Variationen nicht kompakt unterstützt werden, kann man diese Begriffe nicht wegwerfen. Insbesondere sind sie bei der Definition der sympletischen Form nach Walds Methode relevant. Siehe zB aip.scitation.org/doi/10.1063/1.528801 .

Niemand · Answer 1

Niemand

Dies ist die Divergenz eines Vektors. Man kann das Stokes-Theorem verwenden und sagen, dass dies gleich einem Grenzbeitrag im Unendlichen ist, den wir auf Null setzen können.

Konstantin

An der Unendlichkeit/Grenze einer Hyperfläche ist die Variation der Metrik Null aufgrund einer vernachlässigbaren Variation der Metrik?

Niemand

Wir nehmen an, dass die Deformationen des Feldes am Rand verschwinden.

Konstantin

Das Feld hier ist das metrische Feld?

Niemand

Ja, ich beziehe mich auf das Feld, in dem wir uns unterscheiden.

Prahar

Das ist nicht richtig. Die Einstein-Hilbert-Aktion enthält bis zu zwei Ableitungen in der Metrik, sodass der von Ihnen geschriebene Grenzterm enthält

δ g_{μ ν}

$\delta g_{\mu\nu}$ und seine erste Ableitung. Der Randterm verschwindet, wenn beides gilt

δ g_{μ ν}

$\delta g_{\mu\nu}$ UND seine Ableitung verschwindet an der Grenze. Dies gleichzeitig zu tun, erweist sich als zu starke Bedingung, also müssen wir eine auswählen. Die Standard-Randbedingung ist, dies anzunehmen

δ g_{μ ν} |_{bdy} = 0

$\delta g_{\mu\nu}|_{\text{bdy}} = 0$ . Der Begriff, der sein Derivat enthält, muss dann durch HINZUFÜGEN eines zusätzlichen Begriffs zur Aktion gelöscht werden (siehe tinyurl.com/sh5oh3g ).

Niemand

@ Prahar hat Recht. Ich werde meine Antwort bearbeiten.

Prahar

@ApolloRa - Ihre bearbeitete Antwort ist immer noch falsch. Der Randterm ist nicht Null! Das ist der springende Punkt in meinem Kommentar! Wir müssen der Einstein-Hilbert-Wirkung einen zweiten Term hinzufügen (GHY-Term genannt), um diesen Grenzbeitrag aufzuheben.

Niemand

arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf Seite 115

Prahar

@ApolloRa - Es ist klar, dass diese Vorlesungsunterlagen eine sehr grundlegende Einführung in GR sind und dass Carroll daher viele Dinge unter den Teppich kehrt. Dies ist offensichtlich in Ordnung, da Grenzfragen nicht etwas sind, was ein Einführungskurs lehren soll. Wenn Sie stattdessen sein Lehrbuch (Spacetime and Geometry von Carroll) (den Absatz unter Gl. (4.65)) lesen, werden Sie sehen, dass er einen zusätzlichen Satz über die von mir erwähnten Grenzprobleme hat. Auch hier diskutiert er es nicht im Detail, da es die Hauptdiskussion entgleist, an der der Autor interessiert ist.

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Konstantin

Gold

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Niemand

Konstantin

Niemand

Konstantin

Niemand

Prahar

Niemand

Prahar

Niemand

Prahar

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