Was ist eine "Bewegungsgleichung", wie sie im Zusammenhang mit geodätischen Gleichungen verwendet wird?

(1) Wikipedia

(2) Die Gleichung

$$\frac{d^2 x^\alpha}{d\tau^2}=0$$ ist die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens in der speziellen Relativitätstheorie. Es ist gewissermaßen eine Verallgemeinerung des ersten Newtonschen Gesetzes. Es besagt, dass sich freie Teilchen in geraden Linien bewegen (denken Sie daran, dass zweite Ableitungen Linien vernichten). Da in der speziellen Relativitätstheorie die Christoffel-Symbole trivialerweise Null sind (natürlich in kartesischen Koordinaten), ist die geodätische Gleichung $$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\;\rho\sigma}\frac{dx^\rho}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau}=0$$ reduziert sich auf die obige Gleichung. Umgekehrt besagt das Äquivalenzprinzip, dass die erste Gleichung an genau einem Punkt entlang der Weltlinie in geeigneten Koordinaten gilt. Es kann gezeigt werden (siehe z. B. Weinberg Gravitation und Kosmologie S. 70), dass dies die geodätische Gleichung entlang des Rests der Weltlinie impliziert.