Wie lässt sich Fermats Prinzip der kürzesten Zeit für Licht auf die gekrümmte Raumzeit anwenden?

In einem Raumgebiet, das kein massives Objekt hat, laufen Lichtstrahlen parallel zueinander oder einfach in einer geraden Linie. In einem positiv gekrümmten Bereich des Weltraums (wie in der Nähe eines Planeten oder Sterns) jedoch, wie in diesem Bild, "krümmen" sich Lichtstrahlen, wenn sich dieser Körper in seinem Weg befindet.

Angeblich gehen Lichtstrahlen von einem Körper aus, aber es gibt einen Stern zwischen ihrem Weg und sie werden gekrümmt, so dass das Licht uns, die Beobachter, erreicht. Liege ich richtig, wenn ich sage, dass der Grund, warum sich Lichtstrahlen biegen, darin besteht, dass dieser Weg im gekrümmten Bereich die geringste Zeit für die Lichtstrahlen benötigt?

So wie ich es sehe, wenn ich den Lichtweg in Abwesenheit des Sterns verfolge und diesen Weg dann überlagere, wenn der Stern vorhanden ist, wird der neue Weg gekrümmt, aber die Entfernung ist in diesem Fall am geringsten, weshalb Licht diesen Weg nehmen wird .

Die mathematische Beschreibung ist die geodätische Gleichung
Professor Valeri P. Frolov von der University of Alberta hat eine Arbeit zum Thema Ihrer Frage verfasst. arxiv.org/abs/1307.3291 journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.88.064039 Auch Volker Perlick hat zum Thema geschrieben: link.springer.com/article/10.1007/s10714-005-0225-6

Antworten (3)

Das Fermatsche Prinzip gilt tatsächlich noch immer in der folgenden Form 1 :

Lassen S ein Ereignis sein (die Quelle) und ℓ eine zeitähnliche Weltlinie (der Beobachter) in einer Raumzeit ( M , G a β ) . Dann eine glatte Nullkurve γ aus S Zu ℓ ist ein Lichtstrahl (null geodätisch) genau dann, wenn seine Ankunftszeit τ An ℓ stationär ist unter Variationen erster Ordnung von γ innerhalb der Menge glatter Nullkurven aus S Zu ℓ .

Mit anderen Worten bedeutet dies, dass bei einem gegebenen Quellenereignis und einem Beobachter von allen möglichen Flugbahnen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, die tatsächliche Flugbahn diejenige sein wird, für die die Ankunftszeit stationär ist (was das Minimum einschließt). Was dies zeigt, ist, dass alle Effekte des Gravitationsfeldes einfach in die Ankunftszeit eingekapselt sind, wie Sie sagen.

1 Schneider, Ehlers und Falco, Gravitational Lenses , Abschnitt 3.3, Seite 100

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe, weil ich noch ein Gymnasiast bin. Lassen Sie mich wissen, ob ich mit meinem Verständnis richtig liege - Von allen möglichen Wegen, die das Licht nehmen kann, nimmt es den, auf dem es zuerst ankommt? Ist das richtig?
@DarkLumiere Es gibt einige technische Details, aber im Wesentlichen ja. Das Theorem betrifft einen Lichtstrahl, der zu einer bestimmten Zeit von einem bestimmten Punkt ausgeht und schließlich bei jemandem ankommt, der darauf wartet. Es gibt viele mögliche Wege, die es nehmen könnte, während es sich immer noch mit Lichtgeschwindigkeit bewegt; der tatsächliche Pfad ist derjenige, der zuerst ankommt.
Ich verstehe. Vielen Dank!

  1. Nun, es ist nicht möglich, ohne die Verwendung von Hilfsvariablen ein stationäres Wirkungsprinzip (SAP) für Nullgeodäten/masselose Teilchen zu schreiben, vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag. Dies erschwert jede Interpretation der Handlung als (proportional zur) Eigenzeit .

  2. Trotzdem ist es möglich, solche SAP zu verwenden, um ein Fermatsches Prinzip abzuleiten, zumindest für einige gekrümmte Raumzeiten, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

  3. Siehe auch Ref. 1 und dies und dies verwandte Phys.SE-Beiträge.

Verweise:

  1. VP Frolov, Verallgemeinertes Fermatsches Prinzip und Aktion für Lichtstrahlen in einer gekrümmten Raumzeit, arXiv:1307.3291 . (Huttipp: Physics_Et_Al .)

Licht bewegt sich auf Wegen, die Geodäten genannt werden. Geodäten haben die Eigenschaft, dass sie die Pfade mit minimalem Abstand zwischen zwei Punkten sind. Daher dauert es weniger Zeit, entlang einer Geodäte zu reisen als auf jedem anderen Pfad zwischen zwei Punkten. Der Grund, warum Licht entlang einer Geodäte wandert, ist, dass diese Pfade auch die Eigenschaft haben, dass sie lokal „gerade“ sind. Grundsätzlich denkt das Licht, dass es sich die ganze Zeit in einer geraden Linie bewegt.

Wie lässt sich Fermats Prinzip der kürzesten Zeit für Licht auf die gekrümmte Raumzeit anwenden?
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