Kann eine Krümmung in der Zeit (und nicht im Raum) eine Beschleunigung verursachen?

Im Allgemeinen macht es keinen Sinn, von Krümmung nur im Raum oder nur in der Zeit zu sprechen.

Die Geometrie einer Raumzeit wird durch die Metrik beschrieben. Normalerweise beginnen wir mit einer Verteilung von Materie/Energie und lösen die Einstein-Gleichungen, um die Metrik zu berechnen. Alternativ können Sie mit der gewünschten Metrik beginnen und die Einstein-Gleichungen verwenden, um herauszufinden, welche Verteilung von Materie / Energie benötigt wird, um sie zu erstellen, obwohl Sie meistens mit einer unphysikalischen Verteilung von Materie enden (z. B. wenn exotische Materie erforderlich ist). .

Wie auch immer, die Metrik ist ein koordinatenunabhängiges Objekt - es ist dasselbe, egal welches Koordinatensystem Sie verwenden. Um jedoch eine Darstellung der Metrik (normalerweise als 4 x 4-Matrix) aufzuschreiben, müssen Sie ein Koordinatensystem (mit einer zeitähnlichen und drei raumähnlichen Koordinaten) auswählen, und erst wenn Sie dies tun, können Sie anfangen, über Krümmung in Koordinaten zu sprechen .

Das Problem ist, dass es viele verschiedene Koordinatensysteme geben kann, um dieselbe Raumzeit zu beschreiben. Sogar das bescheidene statische ungeladene Schwarze Loch kann mit Schwarzschild-Koordinaten, Gullstrand-Painleve-Koordinaten, Eddington-Finkelstein-Koordinaten, Kruskal-Szekeres-Koordinaten und wahrscheinlich vielen anderen, die ich nicht kenne, beschrieben werden. Die von Ihnen gewählte zeitähnliche Koordinate und die damit verbundene Krümmung werden also nicht mit der zeitähnlichen Koordinate übereinstimmen, die andere allgemeine Relativisten wählen könnten.

Sie könnten also durchaus in der Lage sein, eine Auswahl an Koordinaten zu finden, die nur in Zeitrichtung gekrümmt ist. Aber jemand anderes, der ein anderes Koordinatensystem verwendet, könnte feststellen, dass die Krümmung in den Raumkoordinaten oder wahrscheinlicher sowohl in Zeit- als auch in Raumkoordinaten liegt. In allen Fällen bewirkt jede Krümmung, dass ein sich frei bewegendes Objekt beschleunigt.

Wenn Sie also fragen: Kann eine Krümmung in der Zeit (und nicht im Raum) eine Beschleunigung verursachen? dann ist die Antwort ja , aber das ist eine etwas leere Antwort, weil Ihre Bedingung Krümmung in der Zeit (und nicht im Raum) eine Aussage über Ihr Koordinatensystem und nicht über die Geometrie der Raumzeit ist.

Zunächst einmal bin ich mir nicht ganz sicher, was Sie fragen oder woran Sie als Krümmung denken. Es gibt sicherlich nicht-euklidische Koordinatensysteme, die nicht als "gekrümmt" gelten. Zum Beispiel haben zylindrische Standardkoordinaten eine Riemann-Krümmung von Null, aber sie sehen "kurvig aus".

Meine Meinung ist jedoch, dass Sie in GR ein Koordinatensystem mit 4 Koordinaten haben. Sie haben auch einen metrischen Tensor$g$die einige Eigenschaften dieses Koordinatensystems beschreibt / bestimmt, wie z. B. die Bogenlänge.

Without getting too mathematical, think of a sheet of paper. with the vertical of the paper being the time coordinate, and the horizontal of the paper being a space coordinate. Now roll the paper up so that the space coordinate is like the round surace of the cylinder. There is a metric g to describe that. But if you wanted to do the same thing so that the time coordinate became the round part of the cylinder, there is a metric to describe that too. Incidentally, neither of these spaces are actually curved in the Reimann curvature sense, but some people would initially guess they were.

But imagine the cylinder being like a rubber tube and bent it like a donut,

Now if you draw two "straight" lines around the donut in one direction, they would remain same distance apart parallel. But in the other direction they do not.

Does this mean curvature...not necessarily. What determines curvrature, I believe, isn't that the lines get closer or further apart per say, but moreso the rate at which they get closer or futher apart being non-constant. So to do that I think you would have to make the donut something like more oblong or squashed. This is related to 'geodesic deviation' and characterized by the Reimann tensor which is determined by the metric g.

Geodesic deviation basically constitutes an analogy to acceleration. So can you have acceleration (deviation) in the time direction and not the space direction or vise -versa? hmmm....

... Ich habe Probleme, es aus der Geometrie genau zu sehen, aber ich tendiere zu Nein. Wenn sich etwas relativ zu mir im Raum beschleunigt, wäre auch die Art und Weise, wie seine Zeit im Vergleich zu meiner Zeit vergeht, nicht konstant. Wenn sich also etwas zeitlich beschleunigt, müsste sich in der Einstein-Theorie mindestens eine der räumlichen Komponenten der Geschwindigkeit ändern, da die 4-Gang-Geschwindigkeit insgesamt c in der Relativitätstheorie ist.