Krümmungsgravitation und ein fallender Apfel? [Duplikat]

Der Weg in der Raumzeit, dem ein sich frei bewegendes Objekt folgt, ist durch die geodätische Gleichung gegeben :

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\tau} {dx^\beta \over d\tau} = 0 \tag{1}$$

Das sieht jetzt absolut schrecklich aus, aber es ist viel einfacher als es aussieht.

Die Variable$x$ist ein Vektor , der eine Position in der Raumzeit angibt. Also, wenn wir verwenden$x$,$y$Und$z$für die Position im Raum und$t$für die zeitliche Position dann den Vektor$\vec{x}$hat Komponenten$(t, x, y, z)$. Das hochgestellte, z$x^\mu$, ist keine Potenz, sondern sagt uns, um welche Komponente es sich handelt. So$x^0$wäre$t$,$x^1$wäre$x$,$x^2$wäre$y$Und$x^3$wäre$z$.

Die Variable$\tau$wird die Eigenzeit genannt und ist die Zeit, die auf einer Uhr angezeigt wird, die von dem sich bewegenden Objekt getragen wird. Das heißt, wenn Sie derjenige wären, der sich durch die Raumzeit bewegt$\tau$ist nur die Zeit, die auf Ihrer Armbanduhr angezeigt wird.

Also der Ausdruck$d^2 x^\mu/d\tau^2$ist nur eine Beschleunigung zB wenn$\mu=2$es ist nur$d^2y/d\tau^2$oder die Beschleunigung in der$y$Richtung. Ebenso der Ausdruck$dx^\mu/d\tau$ist eine Geschwindigkeit, also wann$\mu=3$es ist nur$dz/d\tau$oder die Geschwindigkeit in der$z$Richtung.

Die Symbole$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$werden Christoffel-Symbole genannt und beschreiben im Wesentlichen, wie die Raumzeit gekrümmt ist. In flacher Raumzeit, dh ohne Schwerkraft, sind die Christoffel-Symbole alle Null$^1$. In gekrümmten Raumzeiten sind die Christoffel-Symbole ungleich Null.

Und jetzt sind wir bereit zu gehen. Mal sehen, was passiert, wenn Sie Ihren Apfel in der flachen Raumzeit loslassen. Für flache Raumzeit sind die Christoffel-Symbole Null und Gleichung (1) wird zu:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = 0$$

und das sind wirklich vier Gleichungen, eine für jeden Wert von$\mu$:

$$\begin{align} {d^2 t \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 x \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 y \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 z \over d\tau^2} &= 0 \end{align}$$

Das sagt uns also, dass die Beschleunigung in alle Richtungen Null ist. Mit anderen Worten, der Apfel bleibt, wo er ist. Und das ist natürlich ganz richtig. Wenn du fernab von Massen im Weltraum schwebst und den Apfel loslässt, bleibt er dort, wo er ist.

Eine kurze Bemerkung, bevor ich zu dem komme, was in der gekrümmten Raumzeit passiert. Sie fragen sich vielleicht, was um alles in der Welt$d^2t/d\tau^2$Ist. Nun, die Zeitkoordinate$t$ist das, was wir messen, während wir den Apfel und die Zeitkoordinate beobachten$\tau$misst der Apfel auf seiner Armbanduhr. Wenn der Apfel relativ zu uns stationär ist$t$Und$\tau$sind gleich. Aber wenn sich der Apfel bewegt, gibt es Zeitdilatation und$t$Und$\tau$wird nicht dasselbe sein. Die Geschwindigkeit $dt/d\tau$ist nur die Zeitdilatation und die Beschleunigung $d^2t/d\tau^2$ist die Änderungsrate der Zeitdilatation.

Lassen Sie uns trotzdem zu Ihrem Apfel zurückkehren und sehen, warum Gleichung (1) uns sagt, dass er fallen wird.

Die Flugbahn zu berechnen ist ziemlich schwierig. Wenn Sie wirklich sehen möchten, wie es gemacht wird, enthält dieser Artikel die blutigen Details . Ich werde die Berechnung nicht durchführen, ich werde Ihnen nur zeigen, warum GR uns sagt, dass der Apfel sich bewegen muss. Dazu verwende ich die geodätische Gleichung, um die Beschleunigung in dem Moment zu berechnen, in dem wir den Apfel loslassen, und um zu zeigen, dass sie nicht Null ist.

Wir beginnen mit dem stationären Apfel, also den Geschwindigkeiten$dx/d\tau$,$dy/d\tau$Und$dz/d\tau$sind alle Null. Obwohl sich der Apfel nicht im Raum bewegt, bewegt er sich zeitlich mit einer Sekunde pro Sekunde, also wird der Apfel in dem Moment losgelassen$dt/d\tau = 1$(eigentlich ist es$c$, aber wir neigen dazu, Einheiten zu verwenden, in denen$c = 1$.

Wenn wir also auf Gleichung (1) zurückblicken, die Geschwindigkeiten$dx^\alpha/d\tau$Und$dx^\beta/d\tau$Null sind, außer wenn$\alpha = \beta = 0$. Gleichung (1) vereinfacht sich also zu (denken Sie daran, dass dies nur in dem Moment ist, in dem der Apfel freigegeben wird):

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{00} = 0 \tag{2}$$

Das Problem ist, dass die Koordinaten, die ich gewählt habe,$(t, x, y, z)$, sind nicht ideal für (annähernd) kugelsymmetrische Gravitationsfelder wie das um die Erde. Also werde ich ein bisschen schummeln und davon ausgehen, dass ich die Rindler-Metrik verwenden kann , um die Krümmung in der kleinen Region um den Apfel und uns herum zu beschreiben. Wir werden nehmen$z$die Höhe sein, also$x$Und$y$wird die Position auf dem Boden sein.

Mit diesen Koordinaten das einzige Christoffel-Symbol ungleich Null$\Gamma^\mu_{00}$ist, wenn$\mu = 3$, dh$\Gamma^3_{00}$, und dies hat den Wert (in dem Moment, in dem der Apfel veröffentlicht wird):

$$\Gamma^3_{00} = \frac{g}{c^2}$$

Wo$g$ist die Gravitationsbeschleunigung (und denken Sie daran, dass wir Einheiten wo verwenden$c = 1$). Setzen Sie dies in Gleichung (2) ein und erweitern Sie es in die vier separaten Gleichungen, und wir erhalten:

$$\begin{align} {d^2 t \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 x \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 y \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 z \over d\tau^2} &= -g \end{align}$$

Und da ist unser Ergebnis. Der Apfel beschleunigt also nicht seitlich, also in der$x$oder$y$Richtungen, aber es beschleunigt nach unten in die$-z$Richtung. Und die Beschleunigung nach unten ist gerecht$g$dh die Erdbeschleunigung.

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^{$^1$Selbst in flacher Raumzeit sind die Christoffel-Symbole ungleich Null, wenn Sie gekrümmte Koordinaten verwenden, z. B. Polarkoordinaten. Wir werden das für die Zwecke dieser Diskussion beschönigen.}

Ich habe keine Zeit, dies richtig aufzuschreiben, aber ich wurde gebeten, dies zu beantworten. (Ich habe auch das Gefühl, dass John Rennie etwas viel Besseres posten wird)

Der entscheidende Punkt ist, dass nicht der Raum gekrümmt ist, sondern die Raumzeit. Der Apfel fällt, weil der beschleunigende Abwärtspfad durch die Raumzeit der geodätische durch den gekrümmten Raum ist und nicht der "geradlinige" schwebende Pfad durch die Raumzeit.