Gibt es ein Maupertuis-Prinzip für die Allgemeine Relativitätstheorie?

I) Wir gehen davon aus, dass die Frage von OP ein massives Punktteilchen mit Ruhemasse betrifft$m_0>0$in einer Lorentzschen Raumzeit-Mannigfaltigkeit$(M,g)$[der Unterschrift$(+,-,\ldots, -)$] zwischen einem anfänglichen und einem letzten Raumzeitpunkt$p_i, p_f\in M$, die kausal zusammenhängen sollten. Lassen Sie uns in Einheiten arbeiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit ist$c=1$und Ruhemasse$m_0=1$sind beide eins.

II) Bevor wir das Maupertuis-Prinzip diskutieren , sollten wir zuerst ein stationäres Aktionsprinzip (SAP) haben. Die Frage von OP erwähnt einen nicht näher bezeichneten$4$-Gewalt. Um ein Variationsprinzip zu haben, müssen wir das fordern$4$-Kraft kommt von einem Potential$U$. Die Aktion ist dann

$$S[x;\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~L, \qquad L~=~T-U,$$ $$\tag{1} T~:=~-\sqrt{T_0},\qquad T_0~:=~ g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu},$$

Wo$\lambda$ist ein Parameter, und Punkt bedeutet Differentiation bzgl.$\lambda$.

III) Im SAP legen wir Dirichlet-Randbedingungen (BC) fest

$$\tag{2} x^{\mu}(\lambda_i)~=~x_i^{\mu}\qquad\text{and}\qquad x^{\mu}(\lambda_f)~=~x_f^{\mu},$$

und behalten$\lambda_i,\lambda_f$Fest.

IV) Wir nehmen an, dass die Wirkung (1) reparametrisierungsinvariant ist

$$\tag{3}\lambda\quad\longrightarrow\quad \tilde{\lambda}~=~f(\lambda),$$

da die Physik geometrisch sein sollte.

V) Der Lagrange$4$-Impuls und Energiefunktion werden

$$\tag{4} p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}}~=~ -\frac{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}}{\sqrt{T_0}}-\frac{\partial U}{\partial\dot{x}^{\mu}},$$

Und

$$\tag{5} h~:=~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu} - L~=~\left(1 - \dot{x}^{\mu}\frac{\partial }{\partial\dot{x}^{\mu}}\right)U,$$ bzw.

VI) Normalerweise wird bei der Erörterung des abgekürzten Aktionsprinzips angenommen, dass die Lagrange-Funktion (1) keine explizite hat$\lambda$-Abhängigkeit, so dass die Energie (5) auf der Schale erhalten bleibt. Nein explizit$\lambda$-Abhängigkeit mag natürlich & unschuldig klingen, schränkt aber zusammen mit der Reparametrisierungsinvarianz (3) die möglichen Potentiale stark ein$U$. Das Lorentzpotential$U\propto A_{\mu}\dot{x}^{\mu}$ist natürlich weiterhin erlaubt.

VII) Eigentlich nicht explizit$\lambda$-Abhängigkeits- und Reparametrisierungsinvarianz (3) implizieren im Wesentlichen, dass die Energiefunktion (5) identisch verschwindet.

VIII) Die abgekürzte Handlung wird

$$\tag{6} A[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu}$$

für virtuelle Pfade konstanter und gleicher Energie

$$\tag{7} h~=~E,$$

befriedigendes Dirichlet BC (2), aber kostenlos$\lambda_i$Und$\lambda_f$. Aus Abschnitt VII wissen wir, dass die Energie$E=0$fällt aus der verkürzten Aktion (6).

IX) Um auf die Frage von OP zurückzukommen, es scheint wenig Hoffnung zu geben, ohne weitere Annahmen eine Jacobi-Quadratwurzelform des abgekürzten Aktionsprinzips (6) zu erreichen.

Der natürliche nächste Schritt besteht darin, davon auszugehen, dass das Potenzial vorhanden ist$U$hängt nicht davon ab$4$-Geschwindigkeit$\dot{x}^{\mu}$. Dann die Energiefunktion$h\equiv U$wird nur die potentielle Energie, und$p_{\mu}\dot{x}^{\mu}\equiv T\equiv -\sqrt{T_0}$.

Mit all den anderen oben genannten Anforderungen impliziert dies jedoch im Wesentlichen, dass das Potenzial vorhanden ist$U=0$ist null!

Natürlich ohne Potenzial$U=0$, erreichen wir wenig überraschend eine Jacobi-Quadratwurzelform des abgekürzten Wirkungsprinzips

$$\tag{8} A[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~-\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~\sqrt{T_0} .$$

Die abgekürzte Aktion (8) ist identisch mit dem SAP (1), von dem wir ausgegangen sind, im Wesentlichen aufgrund der Reparametrisierungsinvarianz.