Ich las über Kongruenzen zeitähnlicher Geodäten aus "A Relativist's Toolkit - Eric Poisson". Es gibt ein gelöstes Beispiel einer zeitähnlichen geodätischen Kongruenz für die Schwarzschild-Raumzeit.
Die Art der Kongruenz, die im Beispiel betrachtet wird, ist radial, marginal gebunden und zeitartig. Was sind marginal gebundene Geodäten? Wie sind sie in diesem Fall überhaupt relevant? Müssen wir immer marginal gebundene Geodäten berücksichtigen, um geodätische Kongruenz zu beobachten?
Um zu verstehen, was "marginal gebundene Geodäten" sind, können Sie etwas Intuition gewinnen, wenn Sie über die Newtonsche Gravitation nachdenken. Beim Newtonschen Zweikörperproblem bestimmen die Energieparameter der Bahnen, ob sie gebunden sind oder nicht. Wenn , dann ist die Umlaufbahn eine Ellipse (also gebunden) während if die Umlaufbahn ist eine Hyperbel (ungebunden). Der Fall, der die beiden trennt ( , Parabel) wäre die "newtonsche Randbahn".
In vielen GR-Problemen können wir einen ähnlichen "Energieparameter" definieren. Um eine Umlaufbahn als gebunden zu bezeichnen, benötigen wir auch, dass die Umlaufbahn unter kleinen Störungen gebunden bleibt (daher kann eine kreisförmige Umlaufbahn ungebunden sein, da sie bei Störungen ins Unendliche entweichen könnte). Betrachten Sie in diesem Sinne Kreisbahnen in der Kerr-Metrik (Notation wie hier S. 21-22). Es kann gezeigt werden, dass Kreisbahnen gebunden sind, wenn der Energieparameter erfüllt ist , und ungebunden, wenn . Die Bahnen mit werden daher als „marginal gebunden“ bezeichnet. Der Grund, warum Sie in GR haben statt ist das kann als "Energie pro Masseneinheit" in Einheiten mit gedacht werden , damit Sie durch Ruhemasse immer Energie haben. Tatsächlich in diesem Fall im Unendlichen, also der "bindenden Energie", wäre , die sich wie im Newtonschen Fall verhält. Ich halte das Konzept jedenfalls nicht für besonders sinnvoll, aber das ist nur meine Meinung.
Was die andere Frage betrifft, so müssen die Geodäten nicht marginal gebunden sein, um eine Kongruenz zu haben. Tatsächlich ist es nicht erforderlich, dass die Kurven Geodäten sind. Allgemein gesprochen ist eine Kurvenkongruenz die Menge der Integralkurven eines Vektorfeldes.