Geodätische Abweichungsgleichung - warum gibt die gewöhnliche zweite Ableitung die richtige Antwort?

Question

Geodätische Abweichungsgleichung - warum gibt die gewöhnliche zweite Ableitung die richtige Antwort?

Peter4075

Ich habe die richtige Antwort auf mein Problem berechnet, verstehe aber eine der Annahmen nicht, die ich dabei gemacht habe.

Ich habe die geodätische Abweichungsgleichung verwendet

\frac{D^{2} ξ^{μ}}{D λ^{2}} + R_{β a γ}^{μ} ξ^{a} \frac{D X^{β}}{D λ} \frac{D X^{γ}}{D λ} = 0

$\frac{D^{2}\xi^{\mu}}{D\lambda^{2}}+R_{\phantom{\mu}\beta\alpha\gamma}^{\mu}\xi^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}\frac{dx^{\gamma}}{d\lambda}=0$

um zu zeigen, dass auf der Oberfläche einer Einheitskugel zwei Teilchen durch den Anfangsabstand getrennt sind $d$ , ausgehend vom Äquator und nach Norden reisend (dh auf Linien konstanter $\phi$ ) wird eine Trennung haben $s$ nach der Zeit $t$ gleich

S = ξ^{ϕ} = D Sünde θ = D \cos (v T) .

$s=\xi^{\phi}=d\sin\theta=d\cos\left(vt\right).$ Dies ähnelt der geodätischen Abweichung auf zwei Kugeln, außer dass diese Frage mit einfacher Kugelgeometrie gelöst wurde.

Meine Annahme war, dass die zweite absolute Ableitung bzgl $t$ gleich der zweiten gewöhnlichen Ableitung, dh

\frac{D^{2} ξ^{μ}}{D T^{2}} = \frac{D^{2} ξ^{μ}}{D T^{2}} .

$\frac{D^{2}\xi^{\mu}}{dt{}^{2}}=\frac{d^{2}\xi^{\mu}}{dt{}^{2}}.$ Meine Frage ist, warum darf ich diese Annahme machen?

Mir wurde in einem anderen Physikforum gesagt, dass die Antwort darin besteht, dass das Problem in Bezug auf die Riemann-Normalkoordinate eingerahmt ist (weil die Entfernung, die die Autos entlang ihrer separaten Geodäten zurücklegen, eine lineare Funktion der Zeit ist $t$ ). Ich kann nur vermuten, dass dadurch irgendwie die Verbindungskoeffizienten in der absoluten Ableitungsgleichung verschwinden

\frac{D v^{a}}{D λ} = \frac{D v^{a}}{D λ} + v^{γ} Γ_{γ β}^{a} \frac{D X^{β}}{D λ},

$\frac{DV^{\alpha}}{d\lambda}=\frac{dV^{\alpha}}{d\lambda}+V^{\gamma}\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda},$ aber ich kann nicht sehen, warum das so ist. Wie ich in einem Kommentar unten angemerkt habe, ist es möglich, Koordinaten an einem Punkt zu wählen, an dem die Verbindungskoeffizienten verschwinden, aber ich habe die gewöhnlichen Polarkoordinaten verwendet

ϕ

$\phi$ Und

θ

$\theta$ um die richtige Antwort zu berechnen. Zwei verschiedene Sätze von Koordinaten wie diese zu verwenden, scheint ein Fall von "Ihren Kuchen haben und ihn essen" zu sein.

Die Berechnung ist übrigens hier (meine Antwort auf meine Frage): Geodätische Abweichung auf einer Einheitskugel

ACuriousMind

Ist Ihnen bewusst, dass Sie lokal immer Koordinaten wählen können, die die Ableitungen der Metrik (und damit die Christoffels) verschwinden lassen?

Peter4075

Ich glaube schon. Ist das nicht das, was Schutz den Satz der "lokalen Ebenheit" nennt? Was ich nicht verstehe, ist, dass ich die Antwort mit der gewöhnlichen Kugel richtig berechnet habe

θ, ϕ

$\theta,\phi$ Koordinaten. Ich kann nicht sehen, wie die Verbindungskoeffizienten mit diesen verschwinden.

ja

Das gilt nur für einen Punkt

p

$p$ .

Antworten (1)

Geodätische Abweichungsgleichung - warum gibt die gewöhnliche zweite Ableitung die richtige Antwort?

Ist Ihnen bewusst, dass Sie lokal immer Koordinaten wählen können, die die Ableitungen der Metrik (und damit die Christoffels) verschwinden lassen?
Ich glaube schon. Ist das nicht das, was Schutz den Satz der "lokalen Ebenheit" nennt? Was ich nicht verstehe, ist, dass ich die Antwort mit der gewöhnlichen Kugel richtig berechnet habe $\theta,\phi$ Koordinaten. Ich kann nicht sehen, wie die Verbindungskoeffizienten mit diesen verschwinden.

Leere · Answer 1

Der erste Grund ist, dass Ihre "Entfernung" zwischen Geodäten durch eine parallel propagierte Richtung gemessen wird $\partial/\partial \phi$ . Wenn Sie sich die Kugel ansehen, wird der Unterschied deutlich $\Delta \phi$ entspricht nicht dem Abstand zwischen den Punkten auf der Geodäte. Der Abstand zwischen ihnen würde durch Bogenlängen von Großkreisen gemessen werden . Aber Sie verwenden $\theta=const$ Kreise, die nicht die großen Kreise sind, es sei denn $\theta=\pi/2$ .

Der zweite Grund ist, dass Sie an einem Raum mit konstanter Krümmung arbeiten. Siehe unten.

Angenommen, Sie nehmen einen Vektor $\zeta^\mu$ und propagieren Sie es entlang Ihrer Geodäten, um es zu erhalten $\zeta^\mu(\lambda)$ , dh Sie lösen

\frac{D ζ^{μ}}{D λ} = 0

$\frac{D \zeta^\mu}{d \lambda} = 0$ Dank dessen haben Sie jetzt eine einfache Anwendung der Leibniz-Regel

\frac{D^{2} (ξ^{μ} ζ_{μ})}{D^{2} λ} = \frac{D^{2} ξ^{μ}}{D^{2} λ} ζ_{μ}

$\frac{D^2(\xi^\mu \zeta_\mu)}{d^2 \lambda} = \frac{D^2\xi^\mu}{d^2 \lambda} \zeta_\mu$ Aber

ξ^{μ} ζ_{μ}

$\xi^\mu \zeta_\mu$ ist ein Skalar, der trivial propagiert wird, also bekommt man eigentlich auch

D / d λ \to d / d λ

$D/d\lambda \to d/d\lambda$ . Jetzt können Sie Ihre Gleichung der geodätischen Gleichung projizieren

ζ^{μ}

$\zeta^\mu$ zu bekommen

\frac{D^{2} (ξ^{μ} ζ_{μ})}{D^{2} λ} + R_{v κ λ}^{μ} ξ^{κ} u^{v} u^{λ} ζ_{μ} = 0 (*)

$\frac{d^2(\xi^\mu \zeta_\mu)}{d^2 \lambda} + R^\mu_{\;\nu \kappa \lambda} \xi^\kappa u^\nu u^\lambda \zeta_\mu = 0 \; \; \; \;(*)$

Um nun die Tatsache zu nutzen, dass Sie sich auf einem Raum mit konstanter Krümmung befinden. In einem solchen Raum können Sie den Krümmungstensor ausdrücken als

R_{μ v κ λ} = K (G_{μ κ} G_{v λ} - G_{μ λ} G_{v κ})

$R_{\mu \nu \kappa \lambda} = K(g_{\mu \kappa} g_{\nu \lambda} - g_{\mu \lambda} g_{\nu \kappa})$ Wenn Sie dies in die geodätische Abweichungsgleichung einsetzen, erhalten Sie

\frac{D^{2} ξ^{a}}{D λ^{2}} + u^{2} K ξ^{a} = 0

$\frac{D^2 \xi^\alpha}{d\lambda^2} + u^2 K \xi^\alpha = 0$ Wo

u = d x / d λ

$u = dx/d\lambda$ und wir wählen eine Orthogonale

ξ

$\xi$ dazu (wie auch bei dir). Wenn Sie die Projektion in die parallel propagierte machen

ζ_{α}

$\zeta_\alpha$ , du erhältst

\frac{D^{2} (ξ^{a} ζ_{a})}{D^{2} λ} + u^{2} K ξ^{a} ζ_{a} = 0

$\frac{d^2 (\xi^\alpha \zeta_\alpha)}{d^2\lambda} + u^2 K \xi^\alpha \zeta_\alpha = 0$ Das heißt, wenn Sie nur nachforschen

Δ ϕ = ξ^{α} ζ_{α}

$\Delta \phi = \xi^\alpha \zeta_\alpha$ Wo

ζ = \partial / \partial ϕ

$\zeta = \partial/\partial \phi$ , können Sie sogar diese streng lineare Gleichung verwenden.

Beachten Sie, dass Sie ohne die konstante Krümmung des Raums eine Gleichung erhalten würden $(*)$ was Ihnen nicht viel von einer Ahnung gibt, warum Sie in der Lage sein sollten, zu finden $\xi^\alpha \zeta_\alpha$ in der Summe mit dem Krümmungstensor. Ihr Raum ist also speziell und Ihr Abweichungsmaß ist speziell - beides sind notwendige Zutaten für die Annahme.

Kann ich also davon ausgehen, dass nur eine der Koordinatenkurven (hoffe, das ist der richtige Begriff) eine Geodäte ist (dh die $\phi=constant$ eins), dann hat die Antwort nichts mit Riemann-Normalkoordinaten zu tun? Außerdem war mir das nicht klar, wenn $\frac{D\zeta^{\mu}}{d\lambda}=0$ Dann $\frac{D\zeta_{\mu}}{d\lambda} =0$ . Ich habe online ein ähnliches Problem gesehen, aber mit einem der Partikel, die sich entlang des Äquators bewegen ( $\theta =\pi/2$ ), was bedeutet, dass die Verbindungskoeffizienten „natürlich“ verschwinden und die absolute 2. Ableitung gleich der gewöhnlichen 2. Ableitung ist, was die Sache viel einfacher macht.
Warum ist die rechte Seite deiner Gleichung 0? Jeder scheint dies anzunehmen, aber ich kann niemanden finden, der erklären kann, was die Grundlage dieser Annahme ist.
@DonaldAirey Es gibt sechs Gleichungen in meinem Beitrag. Welches meinst du?
@Void - Der fünfte. Der, der mit "Wenn Sie dies in die geodätische Abweichungsgleichung einsetzen" beginnt ...

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Peter4075

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