Physikalische Bedeutung des Killing-Vektorfeldes entlang der Geodäte

Im Allgemeinen, wenn$\xi^\mu$ein Killing-Vektorfeld auf einer Raumzeit ist, und wenn$u^\mu$ist also ein Tangentialfeld entlang einer Geodäte in dieser Raumzeit$\xi_\mu u^\mu$ist eine Erhaltungsgröße entlang der Geodätischen. (Siehe zum Beispiel Walds GR-Proposition C.3.1).

Um die physikalische Bedeutung davon zu veranschaulichen, stellen Sie sich ein Partikel vor, das sich bewegt$2$-dimensionaler Minkowski-Raum mit Metrik

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2.$$

Diese Metrik lässt Tötungsvektoren zu$\xi_{(t)} = (1,0)$und$\xi_{(x)} = (0,1)$. Daraus folgt das für eine Geodäte$(t(\lambda),x(\lambda))$mit Tangente$u^\mu(\lambda)=(dt/d\lambda, dx/d\lambda)$erhalten wir zwei Erhaltungsgrößen

$$\xi_{(t)}^\mu u_\mu = -\frac{dt}{d\lambda}, \qquad \xi_{(x)}^\mu u_\mu = \frac{dx}{d\lambda}$$ Stellen wir uns vor, dass unsere Geodäte den Weg eines Masseteilchens darstellt $m$durch die Raumzeit, dann wenn wir den Parameter wählen $\lambda$Bogenlänge sein, die für zeitartige Kurven Eigenzeit genannt wird $\tau$, nämlich wenn wir wählen $$-1 = u^\mu u_\mu = \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2$$ dann $p^\mu = m u^\mu$der Viererimpuls des Teilchens ist, und die erhaltene Erhaltungsgleichung $\xi_{(t)}$gibt Erhaltung von $p^t = m u^t$, die die Energie des Teilchens ist, und die erhaltene Erhaltungsgleichung $\xi_{(x)}$gibt Erhaltung von $p^x = m u^x$das ist der Impuls des Teilchens.

In diesem Zusammenhang lieferten Killing-Vektoren der gegebenen Metrik konservierte Größen, die als Energie und Impuls eines Teilchens interpretiert werden könnten, das sich frei in der flachen Raumzeit bewegt.