Geodäten und spontan gebrochene Symmetrie

Ich habe eine Raumzeit ( M , G ) und eine Menge diskreter Symmetrien S a : M → M . Gegeben sind zwei Fixpunkte P 0 , P 1 ∈ M mit S a ( P ich ) = P ich , möchte ich argumentieren, dass eine Geodäte, die die beiden Punkte verbindet, selbst nur aus Fixpunkten besteht.

Offensichtlich gilt dies im Allgemeinen nicht: Nehmen Sie zum Beispiel Rotationen der 2-Sphäre als Symmetrie, die die beiden Pole invariant lässt. Die Geodäten sind die Großkreise und alle haben die gleiche Länge und werden ineinander abgebildet. Betrachten wir jedoch den gesamten 3D-Raum mit Rotationen, dann ist die kürzeste Distanz tatsächlich invariant unter Rotationen, weil es die gerade Linie ist, die die beiden Pole verbindet.

In gewissem Sinne wird die Symmetrie im ersten Fall spontan gebrochen. Gibt es eine Möglichkeit, die beiden Fälle zu unterscheiden? Insbesondere wenn ich eine Geodäte finde, die unter den Symmetrietransformationen invariant ist, gibt es ein allgemeines Argument, dass andere, die diese Symmetrie nicht respektieren, länger sein sollten (nur lokal kürzeste Geodäten).

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In der klassischen Mechanik entspricht die spontane Symmetriebrechung dem Fall, wenn der Hamiltonoperator unter einer Symmetrie invariant ist, die Anfangsbedingungen jedoch nicht.

Die in der Frage angegebenen Beispiele entsprechen in der Tat (und im strengen Sinne) einer spontan gebrochenen und ungebrochenen Rotationssymmetrie um die z Achse, wie in der Frage angegeben und im Folgenden klargestellt wird.

Im Fall einer (nicht-relativistischen) geodätischen Bewegung (eines massiven Teilchens) kann der Hamilton-Operator angenommen werden als:

H = M 2 G ich J ( X ) P ich P J
( G ist die Metrik, X ist die Stellung, P ist der Impuls) Dieser Hamiltonoperator ist invariant unter jeder Drehung um die z Achse sowohl für eine runde Zweierkugel als auch für den einbettenden Dreierraum. (Die Frage erwähnt eine diskrete Symmetrie, die jede diskrete Untergruppe der sein kann U ( 1 ) Gruppe von Drehungen um die z Achse, aber die Diskussion gilt für die gesamte kontinuierliche U ( 1 ) Gruppe von Drehungen um die z Achse). Um das zu sehen, genügt es zu beweisen, dass die Hamilton-Poisson mit dem Generator von pendelt z Umdrehungen:
L z = P X j − P j X
(Im Kugelfall sind die Komponenten nicht unabhängig).

Die geodätische Gleichung ist von zweiter Ordnung, sie benötigt 2 Anfangsbedingungen: Ort und Impuls. Damit die Symmetrie nicht spontan gebrochen wird, müssen sowohl die Anfangslage als auch der Impuls unter der Symmetrie invariant sein. Jetzt können wir den Unterschied zwischen den beiden Fällen sehen: (Angenommen, wir beginnen am Südpol)

Im Kugelfall gibt es keine mögliche Anfangsimpulsinvariante unter der Drehung um die z Achse, da der Impuls die Kugel tangiert, also parallel zur X − j Ebene.

Im Drei-Raum-Fall gibt es eine Möglichkeit, bei der der Anfangsimpuls parallel zu der Linie ist, die den Südpol mit dem Nordpol verbindet. In diesem Fall ist der vollständige Satz von Anfangsbedingungen unter der Symmetrie invariant und die Symmetrie wird nicht gebrochen. Folglich ist jeder Punkt entlang der Geodätischen invariant unter der Symmetrie . (Alle anderen Optionen des Anfangsimpulses führen zu einer gebrochenen Symmetrie wie im Fall der Kugel).

Geodäten und spontan gebrochene Symmetrie
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