Kovariante Ableitung vs. partielle Ableitung (im Zusammenhang mit Killing-Vektoren)

In Ihrer Gleichung ist dies nicht der Fall$p$das ist konstant, aber die Komponente(n) von$p$. Dies ist keine koordinateninvariante Aussage, da sich die Koordinaten selbst ändern, wenn Sie sich durch die Mannigfaltigkeit bewegen. Ob sich also die Komponenten eines Vektor- / Tensorfelds ändern oder nicht (und wie sie es tun), gibt keine Auskunft darüber, ob dies der Fall ist oder nicht tatsächliches Vektor-/Tensorfeld ändert oder nicht.

In einigen Fällen (wenn Ihr Verteiler nicht mit einer Metrik oder Verbindung ausgestattet ist) ist es nicht einmal möglich, eine "wahre" Änderungsrate von der "scheinbaren" Änderungsrate zu trennen.

Wenn dies theoretisch möglich ist, bedeutet dies, dass Sie eine Verbindung haben$\nabla$.

In diesem Fall kann die Gesamtänderung einer Größe symbolisch geschrieben werden als

$$dY=\nabla Y+\delta Y,$$ für eine gewisse Menge $Y$Wo $\nabla Y$ist die "wahre" oder "physikalisch/geometrisch" sinnvolle Änderungsrate und $\delta Y$ist eine "scheinbare" Änderungsrate aufgrund der Verschiebung des Koordinatensystems.

Durch die Analyse der algebraischen Eigenschaften von Differentialoperatoren erster Ordnung kann man dies erkennen$\delta$muss ein Differentialoperator nullter Ordnung sein, also im Wesentlichen eine punktweise lineare Transformation, die wir als schreiben$-\Gamma$. Also haben wir

$$\nabla Y=dY+\Gamma Y.$$

Ich habe jetzt im Wesentlichen die kovariante Ableitung eingeführt. Der Punkt ist, dass es so ziemlich immer ist$\nabla$die uns interessiert, die Tatsache, dass in einem Koordinatensystem$p^\beta$könnte konstant sein, hat überhaupt keine Bedeutung. Wenn Sie zu einem anderen Koordinatensystem wechseln, ist es nicht konstant. Was Sie interessiert, ist die koordinateninvariante Ableitung, die in diesem Fall ist

$$u^\alpha\nabla_\alpha p^\beta .$$

Ich denke, Uldreths Antwort hat bereits die wichtigsten Punkte gegeben.

Leider ist Bingos Antwort auf seine eigene Frage falsch.$p^\beta$ist kein Skalar, sondern die Komponente eines Vektors. Denn wenn ich eine Koordinatentransformation durchführe,$p^\beta$ändert sich mit der üblichen Formel, ein Skalar jedoch nicht. Daher reduziert sich die kovariante Ableitung in diesem Fall nicht auf die partielle Ableitung.

Der wesentliche Fehler bei der Ableitung von Bingo besteht darin, die „übliche“ Kettenregel zu übernehmen. Dies ist ein verständlicher Fehler, der auf eine subtile Notation zurückzuführen ist. In diesem Kontext,$\frac{d}{d\tau}$bedeutet "Richtungsableitung entlang einer Geodäte" (wie in der vom OP, Carroll, Seite 136, zitierten Referenz angegeben). Wenn$U^\mu$die vierfache Geschwindigkeit einer Geodätischen ist, dann gilt per Definition:

$$\frac{d}{d\tau}=U^\mu \nabla_\mu$$ Dies ist dasselbe wie das, was das OP geschrieben hat, wenn das Objekt, auf das es wirkt, ein Skalar ist; es ist jedoch nicht im Allgemeinen.

Die Verwirrung kann vermieden werden, indem diese Notation vermieden wird. Wie in Carroll, Seite 136, Gl. (3.174) kann man einfach sagen:

$$\nabla_{(\mu}K_{\nu)} = 0 \implies U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$ (Carroll verwendet tatsächlich $p^\mu=mU^\mu$, aber es spielt keine Rolle) Das heißt, wenn $K_{\nu}$ist also Töten $K_\nu U^\nu$entlang einer Geodäte konstant ist.

Es ist jedoch darauf hinzuweisen$K_\nu U^\nu$ ist in der Tat ein Skalar. Also in diesem Fall stimmt das

$$U^\mu \partial_\mu (K_\nu U^\nu)=U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$ Dies kann helfen, die Verwirrung des OP zu beseitigen.

Jetzt fragt das OP auch, warum wir die kovariante Ableitung und nicht andere Ableitungsbegriffe verwenden. Da es in diesem Fall darum geht, dass ein Skalar konstant ist, können wir den gleichen Begriff zum Beispiel mit der Lie-Ableitung ausdrücken:

$$\mathcal{L}_U (K_\nu U^\nu) = U^\mu \partial_\mu (K_\nu U^\nu)=U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$

Im Allgemeinen ist jedoch die Vorstellung eines Objekts, das entlang einer Kurve konstant bleibt, durch parallelen Transport gegeben , der von der Metrik abhängt. Carroll diskutiert das Problem auf Seite 105. Dies ist letztendlich der Grund, warum wir im Allgemeinen die kovariante Ableitung verwenden müssen. Wenn das Objekt, das Sie in Betracht ziehen, jedoch wirklich ein Skalar ist, stimmen die beiden überein, und es gibt kein Problem.

Die angegebene alternative Ableitung scheint nichts falsch zu machen . Schließlich haben Sie Standardtechniken der Analysis verwendet (z. B. die Kettenregel). Der Konflikt kann leicht gelöst werden, indem man feststellt, dass wir die Wirkung der kovarianten Ableitung auf Skalare (Funktionen) als die gleiche definieren wie die partielle Ableitung (Seite 96 von Sean Carroll oder einem anderen Text).

Ein subtilerer Punkt ist, dass hier,$p^{\beta}$wird als Skalar behandelt (siehe wieder Sean Carroll: pg 136) trotz seines tensorialen Index-Erscheinungsbildes. Diese beiden oben genannten Punkte helfen uns, die Schlussfolgerung zu ziehen$\nabla_{\alpha} p^{\beta}= \partial_\alpha p^{\beta}$.

Carrolls Notation ist etwas anders , da er niedrigere Indizes anstelle von oberen und verwendet$\sigma_{\star}$anstatt$\beta$. Grundsätzlich arbeitet er mit$p_{\sigma_\star}$anstatt$p^{\beta}$.

Wie kann$p^{\beta}$wie ein Skalar behandelt werden? Hier die Bedeutung von$p^{\beta}$ist eine subtile. Es bedeutet folgendes. Wählen Sie ein Koordinatensystem, das mindestens eine Koordinate hat$x_\beta$so dass$\partial_\beta g_{\mu \nu} = 0$. Lassen Sie uns nun einen Skalar definieren$S$dessen Wert genau gleich ist$p^{\beta}$. Also der Wert von$S$ändert sich nicht bzgl. eine Änderung der Koordinaten. Wenn Sean Carroll verwendet$p_{\sigma_{\star}}$(oder$p^{\beta}$in der obigen Frage), meint er '$S$' wie oben definiert. Deshalb führt er ein Seltsames ein$\sigma_{\star}$Index (nur um zu bedeuten, dass das Koordinatensystem und die Koordinate fest sind: diejenige bzgl. der sich die Metrik nicht ändert).